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Bonjour,



J'ai une démo de cours pour calculer la résistance de ce cylindre mais il y a un passage que je ne comprend pas.

Pour calculer R à l'aide de la loi d'Ohm U=RI j'ai besoin de calculer le potentiel V en fonction de z. Ainsi j'aurai E=-gradV et donc U avec l'intégrale de Edl
Et je calculerai I avec j=gamma*E et I=flux de j*dS

Le problème c'est que je ne comprend pas le début de ma démo pour le calcul de V. Voici ce que j'ai au mot près.
En z=0, V=V1
En z=L, V=V2
En z=L/2, V=V1+(V2-V1)/2=V1+[(V2-V1)/L]*[L/2]
En z=L/4, V=V1+(V2-V1)/4=V1+[(V2-V1)/L]*[L/4]
D’où en z, V=V1+(V2-V1)*(z/L)
Ensuite le reste du calcul se fait facilement avec E=-gradV etc ...


Je suis d'accord avec V(z=0)=V1 et V(z=L)=V2
Si j’admets l'expression de V(z=L/2) et V(z=L/4) je comprend comment déduire celle de V(z) mais je ne comprend pas du tout d'où sort justement l'expression de V(z=L/2) et V(z=L/4).

Si quelqu'un peut m'éclairer là dessus ce serait vraiment sympa car ça doit être pas bien compliqué et ça m'énerve de bloquer là dessus.


Merci d'avance

Tu fait juste ta moyenne en z/2 entre V1 et V2

oui c'est la moyenne mais pourquoi peut-on faire cette moyenne ?

Il faut en effet supposer une variation affine du potentiel avec $ z $ pour obtenir ce résultat.
Ceci découle par exemple de l'équation de Laplace ($ \Delta V=0 $), que l'on intègre en supposant que $ V $ ne dépend que de $ z $.

A d'accord si Laplacien de V = 0 j'ai effectivement dV/dz=cste et V=ctse*z +cste2
Mais comment peut-on justifier que V ne dépend que de z ?

ben...comme toujours en physique...fait tourner ton cylindre avec ses deux bases chargés autour de son axe.
Est ce que ca change qqch? non rien. donc le pb ne dépend que de z.

Ça explique l'indépendance vis à vis de $ \theta $, mais pas de $ r $ (en coordonnées cylindriques).

apparemment ça n'a pas l'air si simple comme problème je pensais pourtant.
Quelqu'un peut m'apporter une réponse claire sur la dépendance linéaire de V par rapport à z ?
Merci beaucoup

Ha pardon...en z. désolé.
laplacien nul donc dérivée seconde nulles donc au "mieux" c'est de la forme ax+b et au "pire" c'est constant.
Là, ce n'est pas constant puisque ça va de V1 à V2 donc c'est linéaire.

Heu en dimension plus grande que 1 c'est faux de dire que laplacien nul implique d'être d'ordre 1... Si j'ai bien compris ici on est à deux variables z et r (vu que ca ne dépend pas de theta) donc faut justifier un peu plus, non? Ou alors j'ai rien compris.