Exos sympas MPSI

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compte supprimé

Exos sympas MPSI

Message par compte supprimé » 16 févr. 2012 22:53

Salut,
Je pense qu'il est temps de faire revivre ce topic mais je proposerais quelques règles pour qu'il ne retombe pas dans les oubliettes du forum.

- Citer le problème dont on donne la solution.
- Spoiler les solutions (ou les pistes traitées)
- Expliciter les notations utilisées, si nécessaire

Voilà en espérant une participation assez active, je commence par un joli exo :

Exo 1
Soit a et b deux complexes. A quelle condition la suite (z_n) définie par $ z_{n+1}=az_{n}+b $ est-elle périodique à partir d'un certain rang?
Dernière modification par compte supprimé le 17 févr. 2012 22:17, modifié 1 fois.

Asymetric

Re: Exos sympas MPSI

Message par Asymetric » 16 févr. 2012 23:00

xpec a écrit : - Spoiler les solutions (ou les pistes traitées)
Je suppose que tu veux dire "ne pas spoiler" ?
Exo 1
Soit a et b deux complexes. A quelle condition la suite (z_n) définie par $ z_{n+1}=az_{n}+b $ est-elle périodique à partir d'un certain rang?
SPOILER:
Si on sait résoudre ce genre de suites (et on le sait) ce n'est pas très difficile de conclure ensuite.
L'exercice serait peut-être plus intéressant si on s'intéressait au cas matriciel.

Nuhlanaurtograff

Re: Exos sympas MPSI

Message par Nuhlanaurtograff » 16 févr. 2012 23:36

Je suppose que tu veux dire "ne pas spoiler" ?
Je pense plutôt qu'il voulait dire : utiliser les balises /spoiler.

Asymetric

Re: Exos sympas MPSI

Message par Asymetric » 16 févr. 2012 23:46

Nuhlanaurtograff a écrit :
Je suppose que tu veux dire "ne pas spoiler" ?
Je pense plutôt qu'il voulait dire : utiliser les balises /spoiler.
En effet :lol:

VincentR

Re: Exos sympas MPSI

Message par VincentR » 17 févr. 2012 19:16

C'est pas très animé ici. Je lance un exo. Soit E un espace vectoriel de dimension finie, f un endomorphismede E, P le polynôme minimal de cet endomorphisme. Montrer que si $ \lambda $ est une racinede P, alors c'est une valeur proprede f.

VincentR

Re: Exos sympas MPSI

Message par VincentR » 17 févr. 2012 19:33

Ouais, mais vu qu'on l'a fait en classe, je me disais que.....
La section "exo sympas MP/MP* ne comporte elle pas quelques brins de hors-programmes elle aussi :mrgreen:

VincentR

Re: Exos sympas MPSI

Message par VincentR » 17 févr. 2012 19:48

Ok.
Le polynôme minimal d'un endomorphisme est le générateur de l'idéal (c'est HP ?) des polynômes annulateurs de cet endomorphisme.
$ \lambda $ valeur propre d'un endomorphisme si et ssi $ \exists u \in E $ non nul tel que $ f(u)=\lambda u $.

VincentR

Re: Exos sympas MPSI

Message par VincentR » 17 févr. 2012 19:54

Un idéal I est un sous-ensemble d'un anneau commutatif A qui vérifie:
I est groupe additif, et pour tout a de A et x de I, ax est dans I.
Ce coup-ci, c'est bon :D
Dernière modification par VincentR le 18 févr. 2012 21:20, modifié 1 fois.

VincentR

Re: Exos sympas MPSI

Message par VincentR » 17 févr. 2012 20:02

Bon ok, on laisse tomber.

Asymetric

Re: Exos sympas MPSI

Message par Asymetric » 17 févr. 2012 20:10

Un truc qui n'utilise pas vraiment le programme mais bon :

Montrer que $ \forall n \in \mathbb{N}, E(\sqrt{n} + \sqrt{n+1}) = E(\sqrt{4n+2}) $.

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