Exos sympas MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MPSI

Message par guiguiGG » 13 janv. 2017 21:19

Soit f de R dans R continue et non constante.
Montrez qu'il existe a<b des réels tels que pour tout c dans ]a,b[, f(c) est différent de f(a) et de f(b).
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Re: Exos sympas MPSI

Message par donnerwetter » 13 janv. 2017 22:35

Etudier la suite (cos^(n)(n)), où cos^(n) désigne cos rond cos... rond cos avec n composées.

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Re: Exos sympas MPSI

Message par Contrexemple » 10 sept. 2022 13:17

Salut,

Réciproque du TAF

$ $Soit $f$ fonction réel, dérivable en tout point de $[0,1]$.

A-t-on $\forall t\in ]0,1[,\exists (x,y) \in ]0,1[^2 $ tel que $x<t<y$ et $f'(t)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}$ ?


Edit : Je me rends compte que c'est un grand classique alors je vous mets celui ci qui l'est beaucoup moins.


Le grand remplacement

$ $$ba\rightarrow a^2b$ (*)

$m=a^{p_1}ba^{p_2}b...ba^{p_{100}}$

Déterminer le nombre maximal d'utilisation du remplacement (*) dans le mot $m$.

$(p_n)_n$ la suite croissante de tous les entiers premiers, ainsi $p_1=2,p_2=3,p_3=5...$




Bonne recherche.

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Re: Exos sympas MPSI

Message par Contrexemple » 15 mai 2023 13:11

Bonjour,

Inequation fonctionnelle :

Determiner toutes les fonctions $f$ strictement croissante de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$ tel que $$\forall n\in\mathbb N, f(f(2n))\leq 2f(n) $$



Une histoire de dominos :

On prend un rectangle de 9 cases de long (a,b,c,d,e,f,g,h et i) et 7 cases de large (1,2,3,4,5,6 et 7).

On retire les cases a1 et a7.

Est-il possible de choisir une case en plus à retirer tel que le rectangle retiré de ces 3 cases, se recouvre complétement de dominos rectangulaires de 3 cases de long et 1 case de large ?

Des pistes ici : https://www.youtube.com/watch?v=GiCfw6AL0cM


une équation fonctionnelle :

Determiner toutes les fonctions $f\in C(\mathbb R)$ avec : $f^2+f+id=0$

PS : $f^2=f\circ f$



Bonne recherche.

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Re: Exos sympas MPSI

Message par Contrexemple » 02 août 2023 02:00

Salut,

Un exo trés sympa qui combine info et maths...

$$A=\dfrac{229771050385458743725494168447621117946370262129550114135849283088268}{20677533368708852177381893735878486586471894361012772819558314093171229}$$

Montrer en utilisant un PC et le raisonnement que $A$ contient dans son developpement décimal, tous les chiffres sauf $9$.


Une histoire de division :
$ $
Soient $n \in \mathbb N^*,x >1$ avec $E(x\times 10^n) | E(x \times 10^{2n})$. A-t-on $E(x \times 10^n)\times 10^n=E(x \times 10^{2n})$ ?


Minimiser :

Determiner $\min\{|11^n-2^m| : (n,m)\in (\mathbb N^*)^2\}$.


Dominos coudés :

On dispose d'un domino coudé :

Image

On a une grille carré G de 9 cases de côté.

Peut-on recouvrir complétement G avec des dominos coudés ?


une affaire irrationnelle :

A-t-on $\forall n \in\mathbb N^*, \sqrt n +\sqrt {n+1}$ irrationnel ?


Bonne recherche.

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Re: Exos sympas MPSI

Message par Contrexemple » 15 sept. 2023 09:46

Salut,

Un peu d'algébre linéaire :

Soit $n \in \mathbb N,n>3$.

A) Soit $G$ un sous groupe fini, non trivial, de $GL_n(\mathbb R)$. A-t-on l'ensemble $G$ lié ?

B) Existe-t-il $H$ un sev de $M_n(\mathbb R)$, avec $\dim(H)\geq 2$ et $H-\{0\} \subset GL_n(\mathbb R)$ ?




Dominos 3*1 :

On a une grille rectangulaire de 8 cases de largeur (colonnes : a,b,c,d, e,f,g et h) et 9 cases de longueur (lignes : 1,2,3.. et 9).

On retire les 3 cases suivantes : a1, a9 et h1.

Peut-on recouvrir totalement la grille privée des 3 cases, avec des dominos 3*1.



Dominos en T :

Voici un domino en T :
Image
Peut-on recouvrir complétement avec des dominos en T une grille carré de côté 6 cases ?



Des equations fonctionnelles :
$ $
Soient $n \in \mathbb N^*$, $\{a_0,...,a_n\} \subset \mathbb R_*^+$. On suppose $Eq : \sum\limits_{k=0}^n a_k f^k(x)=0$ n'a pas de solutions linéaires.

Déterminer l'ensemble des solutions de $Eq$ pour $f \in C^\infty (\mathbb R)$.


Bonne recherche.

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Re: Exos sympas MPSI

Message par Contrexemple » 06 nov. 2023 22:39

Bonsoir,


Encore des polynômes :

Soient $r \in \mathbb N^*, P \in \mathbb Q[x]$ avec $\forall n \in \mathbb N^*, \sum\limits_{k=1}^n k^r=P(n)$.

A-t-on $(X+1) | P(X) $ ?


Bonne recherche.

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Re: Exos sympas MPSI

Message par certus » 07 nov. 2023 13:54

pourl'exos ci-dessus c'est oui

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Re: Exos sympas MPSI

Message par Contrexemple » 08 nov. 2023 22:20

Encore des polynômes 2 :
$ $
Soient $r \in \mathbb N^*, P \in \mathbb Q[x]$ avec $\forall n \in \mathbb N^*, \sum\limits_{k=1}^n k^{2r+1}=P(n)$.

A-t-on $(X+1)^2 | P(X) $ ?


Un nouveau et sympa probléme de théorie des nombres :

Soit $A=\dfrac 1{3^{100}}$. Y-a-t-il dans le developpement décimal de $A$ la séquence $12345678910$ ?

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Re: Exos sympas MPSI

Message par Contrexemple » 29 févr. 2024 11:18

Bonjour,

D782 : Jeu de mots

(1) $ba\rightarrow a^2b$
(2) $a^2b\rightarrow ba$
(3) $ab\rightarrow b^4a^4$
(4) $b^4a^4\rightarrow ab$

A-t-on, en utilisant les régles (1), (2), (3) et (4) : $ab \rightarrow b^4 a^5$ ?

Bonne recherche.

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