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Bonsoir,

Je travaille en dimension finie. Je cherche l'ensemble des endomorphismes f tels que la matrice de f soit diagonale dans n'importe quelle base.
J'arrive à montrer que les homothéties conviennent mais je ne parviens pas à montrer qu'il n'y a pas d'autre solution.
Est ce que quelqu'un pourrait m'indiquer comment faire?

Merci beaucoup
Bonne soirée !

Tu peux utiliser une base (e_1, ... ,e_p), appeler a_i la valeur propre relative à e_i et montrer qu a_i = a_j en considérant e_i + e_j

Philippe PATTE a écrit :Tu peux utiliser une base (e_1, ... ,e_p), appeler a_i la valeur propre relative à e_i et montrer qu a_i = a_j en considérant e_i + e_j

Oui voilà, l'idée c'est que si tu as une matrice diagonale quelque soit la base, alors en appelant x le premier vecteur de base, tu as forcément (regarde la tête de ta matrice) :

u(x) = a(x) * x

a(x) étant un réel, il est très important de dire qu'il dépend de x a priori.
Et en fait, l'exercice est alors de montrer que ce a(x) ne dépend en réalité pas de x (par la méthode préconisé par le post précédent),
tu établiras alors
Pour tout x
u(x) = a * x

C'est un résultat assez important, parce que hors programme et ultra-classique, qu'on appelle (généralement) "caractérisation des homothéties". Comme il est hors programme, il faut le redémontrer à chaque fois. Comme il est ultra classique, faut l'avoir en tête dès qu'on a un endomorphisme dont l'image de tout vecteur lui est colinéaire.

Autre exercice du genre :
On se place dans l'ensemble des matrices carrées de taille n
M une matrice qui commute avec tout élément de Mn(K) <=> M est une homothétie (ie une matrice scalaire)