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Ta fonction est sous forme canonique, idéale donc pour tracer directement son diagramme asymptotique sans aucune manipulation préalable.

- Premier point : Elle est de classe 0 donc en basse fréquence la phase est nulle et le gain est une constante à 20 log 1 = 0 dB

- Deuxième point : degré 2 au dénominateur et degré 1 au numérateur, donc en haute fréquence phase = -90° et pente de -20dB/dec

- Troisième point : la pulsation de coupure du numérateur est de 0.5 rad/s, celle du dénominateur de 5 rad/s avec un coefficient d'amortissement de 0.1 donc présentant une résonance. Asymptotiquement tu as donc, dans l'ordre croissant des pulsations : une asymptote horizontale à 0db puis à +20 db/dec à partir de 0.5 rad/s puis à -20 dB/dec à partir de 5 rad/s. A noter qu'au niveau de l'intersection de l'asymptote à +20 dB/dec et celle à -20dB/dec tu as une bosse de résonance d'amplitude $ 20log(1/2z\sqrt{1-z^{2}}) $ avec z le coefficient d'amortissement. En vis-à-vis tu as bien sûr sur la courbe de phase 0, +90° et -90° (pour les asymptotes).

Forme canonique d'un polynôme d'ordre 2 : $ 1 + 2z/\omega_{0} + 1/\omega_{0}^{^{2}} $ d'où la valeur des deux constantes.

- Pour le comportement en basse fréquence : Rien de plus simple, une fonction de classe 0 se comporte en basse fréquence comme un gain pur.
- Pour le comportement en haute fréquence : Un degré 1 apporte en haute fréquence 20dB/dec et 90°(en positif quand il est au numérateur et en négatif quand il est au dénominateur). Tu as un degré 1 au numérateur et un degré 2 au dénominateur. D'où le comportement en haute fréquence.
- Ces deux points sont des évidences ne nécessitant aucun calcul, il faut être capable de le voir au premier coup d’œil.

- Le diagramme de bode d'un produit de deux fonctions est la somme des diagrammes de chacune des fonctions (log d'un produit = somme des log et argument d'un produit = somme des arguments). Tu as donc ici la somme des diagrammes d'une fonction d'ordre 2 classique et d'un polynôme de degré 1.

- Pour l'ordre et la classe d'une fonction : $ \alpha $ est la classe et $ \alpha .n' $ l'ordre. La classe d'une fonction correspond au fait que le processus soit intégrateur (classe non nulle) ou pas (classe nulle).

- 50 rad/s n'est pas une pulsation spéciale pour ta fonction ce qui n'empêche pas de calculer l'amplitude et la phase de la sortie pour cette pulsation.

C'est tout de même marrant qu'en 2014 on fasse encore tracer un diagramme asymptotique (donc ne montrant pas les pontentiels pics) d'une fonction dont on a l'expresion analytique et dont l'expression analytique est si simple.
Quand va t on arreter de le faire...va savoir....peut être quand ce sera clair pour tous les étudiants qu'on leur parle de PID car, à l'époaue de l'analogique roi, c'est tout ce qu'on pouvait faire (en gros).