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Bonjour, mon professeur nous a dit que d'une convergence uniforme d'une fonction f sur [a,+infini [ avec a quelquconque strictement positif on ne pouvait deduire la convergence uniforme de f sur ]0,+infini [. Je ne comprend absolument pas pourquoi vu que a est quelquconque et strictement positif. Pouvez vous m'aider svp ?

Essaye de construire un contre-exemple, en gros le truc c'est que c'est possible de converger "de plus en plus lentement" quand tu te rapproches de 0. Par exemple tu prends $ x \mapsto e^{-nx}/x $ je pense que ca devrait marcher ie tu converges uniformément vers 0 sur tout intervalle [a>0, +$ \infty $ [, mais tu n'as pas convergence uniforme sur ]0; + $ \infty $ [ par contradiction avec la double limite.

Je comprend le contre exemple mais Celà me paraît très bizarre car pour moi il n'y a pas de différence entre [a,b] avec a quelconque strictement positif et ]0,b]

Dans le premier cas avec [a,b] t'es sur un segment donc il peut pas y avoir de probleme. Par contre lorsque que ton intervalle est ouvert par ex ]a,b] il peut y avoir des soucis en a.
C'est pareil que quand tu regardes la convergeance d'une integrale, tu te preocupes que des cotés ouverts.

gundertaker a écrit :Je comprend le contre exemple mais Celà me paraît très bizarre car pour moi il n'y a pas de différence entre [a,b] avec a quelconque strictement positif et ]0,b]

Ecrit la définition avec des quantificateurs et des epsilons et constate que tu ne peux déduire la convergence uniforme sur ]0,b] de celle sur [a,b] pour tout a>0.
En gros, dans le premier cas, tu veux pour tout epsilon un n0 tel que ...
Et dans le deuxième, pour tout epsilon et pour tout a>0, il existe un n0 (dépendant de a) tel que...

Considérons, par exemple, la suite $ (f_n) $ d'applications de $ [0,1] \to \mathbb{R} $ définies par: $ f_n(t)=5(1-t)^n $.
$ (f_n) $ converge simplement vers $ f $ sur $ [0,1] $ avec $ f(t)=\left\{\begin{array}{lcl}5&\text{si}&t=0\\0&\text{si}&0<t\leq 1\end{array}\right. $
les $ f_n $ sont toutes continues sur $ [0,1] $ alors que $ f $ n'est pas continue sur $ [0,1] $, donc la convergence n'est pas uniforme sur $ [0,1] $
Même si $ f $ est continue sur $ ]0,1] $, il n'y a pas non plus convergence uniforme sur $ ]0,1] $
Raison : $ \sup\limits_{t\in [0,1]} |f_n(t)-f(t)| =\sup\limits_{t\in ]0,1]} |f_n(t)-f(t)|=5 $ et ceci à cause du point $ 0 $ , qui même si n'appartient pas à $ ]0,1] $ lui est adhérent.
C'est le point $ 0 $ qui empéche la distance maximale de tendre vers $ 0 $, puisqu'elle vaut $ 5 $ qui est la limite de $ 5(1-t)^n $ quand $ t $ tends vers $ 0 $ à droite.
Donc la meilleure façon d'empêcher cela est d'isoler complétement ce point, en prenant par exemple un intervalle de la forme $ [a,1] $ ave $ 0<a \leq 1. $, ce qui donne cette fois-ci une limite valant $ 5(1-a)^n $, qui elle tends vers $ 0 $ quand n tends vers $ +\infty $.
Autrement dit on n'évite pas $ 0 $ en ouvrant l'intervalle car un point adhérent à un ensemble , même s'il ne lui appartient pas peut générer la borne supérieure d'une fonction définie sur cet ensemble ...

Fail , tu peux Prendre f(x) = Zeta(x+1) ou Zeta ici veut bien dire la fonction de zéta Riemann , désapprouver la convergence uniforme sur ]0,+oo[ sera l'objet d'une petite comparaison entre série et intégrale