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Pour la convergence de $ u $, on peut faire comme suit :
$ (u_n)_{n\geq 2} $ est croissante par définition et car $ (u_n)_{n\geq 0} $ est positive et $ \alpha\geq 0 $.

Du coup :
$ u_{n+2}\leq u_{n+1}(1+\alpha^n) $ pour tout $ n $ entier naturel.
$ u_{n+2}\leq u_{n+1}e^{\alpha^n} $ car $ \alpha \geq 0 $
Donc $ u_{n+2}\leq u_{1}e^{\sum_{k=0}^{+\infty}\alpha^k}} $ par récurrence immédiate pour tout $ n $ entier naturel.
$ u_{n+2}\leq u_{1}e^{\frac{1}{1-\alpha}} $ car $ \alpha < 1 $ pour tout $ n $ entier naturel.

Donc $ (u_n)_{n\geq 2} $ est croissante et bornée, elle converge.