Forum Prepas.org

Bonsoir,
Un exercice d'un DM me pose problème, le voici :
On note E=C ([0,1],R) et on considère :
F : E ------> E
f -------> F(f) : x ----> integrale de 0 à 1 [ min (x,t)f(t)dt ]

J'ai fait les premières questions qui consistaient à montrer que était bien C2 puis expliciter F(f)' et F(f)"
J'ai trouvé F(f)'= intégrale de x à 1 [ f(t)dt ]
F(f)"=-f(x)
Je devais également préciser F (f)(0)=0 ainsi que F(f)'(1)=0

A présent, on me demande Ker F et de montrer que Im F = {g € C2 ([0,1],R), g (0)=g'(1)=0 }

Pour le Ker je ne vois pas du tout comment le calculer, j'ai juste écris que si f est dans le Ker, alors :
F(f)=0 <=> int de 0 à x [ tf(t)dt ] = int de x à 1 [-xf(t)dt]
Je ne vois pas du tout comment continuer...merci d'avance pour votre aide

Soit h dans E.

Si F(h) est la fonction nulle, que peux-tu dire de F(h)'' ?

Si F (h) est la fonction nulle alors pour tout x € [0,1] F(h)"=0 <=> -h(x)=0 <=> h=0 ??

oui

les équivalences ne servent à rien vu que tu a une implication au début (F(h) = 0 donc F''(h)=0)

Merci beaucoup pour votre aide !
Pour Im F, on sait que déjà que l'inclusion C est vraie
Pour celle réciproque, je dois exhiber un antécédent par F de chaque g € C2 ([0,1],R) tel que g (0)=g'(1)=0 ?

Helpplease a écrit : Pour celle réciproque, je dois exhiber un antécédent par F de chaque g € C2 ([0,1],R) tel que g (0)=g'(1)=0 ?

Oui , il faut exhiber un antécédent.
En fait , les questions précédentes te permettent d'affirmer qu'il y a un unique candidat pour être antécédent par F d'une fonction donnée g de classe C2: il reste à montrer que ce candidat est bien un antécédent (par le calcul de son image par F).