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Bonnjour.
Pour démontrer f(xy)=f(x)+f(y) par analyse synthèse, dans la 1 ère partie de l'analyse, on fait:
en dérivant par rapport à y la relation f(xy)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)+f(y). Ça donne : xf′(xy)=f′(y)
En prenant par exemple y=1, on obtient xf′(x)=f′(1)=constante.

Mais pourquoi est ce que dériver par rapport à y la relation f(xy)=f(x)+f(y) donne xf′(xy)=f′(y) ??

Merci beaucoup de vouloir bien m'élucider...

Bonjour,

Tout d'abord ta relation $ f(xy)=f(x)+f(y) $ est loin d'être vraie tout le temps. Tu ne précises pas quelles sont les hypothèses faites sur $ f $.
Et c'est en partie pourquoi tu ne comprends pas pourquoi dériver ta relation donne $ xf'(xy)=f'(y) $.

Je te conseille tout d'abord de bien comprendre et analyser les hypothèses de ton énoncé. Puis ensuite pour répondre directement à ta question, ta relation s'obtient en considérant $ y $ comme variable et non $ x $. (Eh oui, c'est pas parce qu'on ne note plus $ x $ la variable que ça change quelque chose, par exemple si $ f(t)=3t $ alors $ f'(t)=3 $, donc dans le cas où dans ta fonction on a deux variables: pour dériver par rapport à l'une on considère l'autre comme constante - Si tu ne comprends pas cela, revois la notion de dérivation...).

merci Karev.
Cependant ce que je ne comprend pas dans ma relation c'est, d'où sort le "x"dans le "xf′(xy)"

Car normalement,si f(Z)= f(x)+f(y), f'(Z)=f'(x)+f'(y)...

Merci de vouloir m'aider

Bon tu es d'accord que vouloir dériver ta relation par rapport à $ y $, revient à considérer $ x $ comme étant une constante?
Si tu as des soucis avec ça, comme je vois que tu ne comprends absolument pas la notion de dérivation dans ton dernier message, tu devrais adopter (dans un premier temps) la notation physicienne $ \frac {d}{dx} $ pour la dérivée par rapport à $ x $.

On dérive toujours une fonction PAR RAPPORT à quelque chose, ici écrire "Si $ f(Z)= f(x)+f(y) $ alors $ f'(Z)=f'(x)+f'(y) $" est complétement faux car déjà tu ne précises pas par rapport à quelle variable tu as dérivé et d'autre part on ne peut jamais obtenir ton expression. En effet:
- Si on dérive $ f(Z)= f(x)+f(y) $ par rapport à $ Z $ alors $ x $ et $ y $ sont constantes (tu peux les remplacer par 1 si tu veux ou n'importe quel scalaire mentalement) c'est comme si tu dérives par rapport à $ Z $: $ f(Z)=f(1)+f(2) $ comme $ f(1) $ et $ f(2) $ sont constantes leurs dérivées par rapport à $ Z $ sont nulles, d'où la relation: $ \dfrac {d}{dZ} f(Z) =0 $. (Ou si tu mentionnes clairement (et que tu as compris) qu'on effectue la dérivation par rapport à $ Z $, alors tu peux écrire $ f'(Z)=0 $).
- Si on dérive $ f(Z)= f(x)+f(y) $ par rapport à $ x $ alors $ Z $ et $ y $ sont constantes, donc $ 0 = \dfrac{d}{dx}f(x) $ (ou si tu le mentionnes clairement que l'on dérive par rapport à $ x $, on peut adopter la notation: $ f'(x)=0 $).
- Si on dérive $ f(Z)= f(x)+f(y) $ par rapport à $ y $ alors $ Z $ et $ x $ sont constantes, d'où $ \dfrac {d}{dy} f(y) =0 $ (Ou encore si tu l'as compris et que tu mentionnes bien qu'on dérive par rapport à $ y $: $ f'(y)=0 $)

Quelques remarques: - Tout ce que l'on vient de dire ci-dessus manque évidement de rigueur, il faut bien évidemment supposer que nos fonctions sont dérivables et préciser leurs intervalles de dérivabilité, sans quoi tout ce qui précède peut être faux.

- Si tu ne comprends pas pourquoi on dérive PAR RAPPORT à quelque chose, reprend la définition de la dérivée d'une fonction (niveau terminale-première).

Pour en revenir à ton message initial:
Si tu te demandes encore pourquoi on obtient: $ xf′(xy)=f′(y) $ en dérivant par rapport à $ y $ la relation: $ f(xy)=f(x)+f(y) $, demande toi ce que donnerait la dérivation par rapport à $ y $ de l'expression: $ f(5y)=f(5)+f(y) $.

Merci beaucoup Karev.
C'était la notion de dérivation par rapport à une variable en posant les autres comme constante qui était confus.

Merci 1000 fois.

Je t'en prie.

Cependant une dernière petite remarque, ce n'est pas la notion de "dérivation par rapport à une variable en posant les autres comme constante" qui posait problème mais la notion de dérivation tout simplement.

Bonjour

Tu es en TS tu as au programme la dérivée de la fct qui à x associe f(ax+b) est la fct qui à x associe a×f'(ax+b)

(Cas particulier de dérivée de fcts composées qui ne disent pas leur nom en term :/)
C'est exactement ce que tu appliques ici avec y à la place de x, et x à la place de a.

Ma réponse est bcp moins complète que l'excellente de spyrtyrty, c'est juste que j'essaie de remettre ton pgme de TS au centre puisque je vois que tu es. .. enTS

à tout hasard, il faut peut-être rappeler que la notion de dérivée à un lien avec celle de droite tangente :
http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 03#p301703
citant donc fakbill :
> Comment veut on que les gens aiment les maths si on les leur présente comme un tas de lois sans liens ?
(d'autant plus quand les lycéens de TS poursuivent ensuite en prépa ECS comme c'est le cas ici)


et plan tangent, en 2D (avec x et y) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Tangente_ ... -del.C3.A0

avec une animation :
https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent
et une figure sur ce qu'est un plan tangent...

$ (f\circ g)' = (g') (f' \circ g) $

Prendre $ g(u) = xu $.

AlbanXIII a écrit : ↑

14 juin 2017 11:51

$ (f\circ g)' = (g') (f' \circ g) $

Prendre $ g(u) = xu $.

Fort malheureusement cette formule n'est plus du programme de TS