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Bonjour bonjour,

Petite question : peut on appliquer la regle d'alembert ou le critere de cauchy à un equivalent de la suite qui nous interesse en premier lieu

Bonsoir

Ce serait bien, même et surtout pour pour toi, que tu précises ta question...

Je précise car en effet, la question était floue !

Lorsque l'on veut étudier la nature d'une série, on peut étudier la limite du rapport Un+1/Un avec Un le terme général de notre série. Si ce rapport tend vers L > 1 alors la série diverge et si L< 1 elle converge.
Ma question est la suivante : Soit Vn un équivalent de Un au voisinage de +infini, la limite du rapport Vn+1/Vn nous donne-t-elle selon la règle d'Alembert la nature de la série de terme général Un ?

Oui, si $ u_n \thicksim v_n $, alors $ u_{n+1} \thicksim v_{n+1} $ donc si $ \frac{v_{n+1}}{v_n} $ tend vers $ L $, alors $ \frac{u_{n+1}}{u_n} $ aussi. Si le critère de d'Alembert marche pour $ v_n $ il marchera aussi pour $ u_n $.

Attention, il ne faut pas confondre avec l'assertion "si $ u_n \thicksim v_n $, la convergence d'une des séries entraîne la convergence de l'autre" qui est totalement fausse (cf le contre-exemple classique $ u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $ et $ v_n = \frac{1}{n} $).

Un= (-1)^n/n plutôt non?

Obchan a écrit : ↑

31 juil. 2017 11:43

Attention, il ne faut pas confondre avec l'assertion "si $ u_n \thicksim v_n $, la convergence d'une des séries entraîne la convergence de l'autre" qui est totalement fausse

Elle est cependant vraie si les suites sont à termes positifs.

Ah et même dans ce cas il n'y a pas équivalence il me semble, c'est plutôt la règle de domination qui est mise en défaut!

Par ailleurs je confirme que le contre-exemple donné par Obchan est faux. On a pas $ u_n \sim v_n $. Je confirme le contre-exemple donné par Drake's, qui est justifiée par le critère de convergence des séries alternées.

@Drake's effectivement pas d'équivalence.

Ah oui, j'ai écrit un truc bien idiot, petite erreur d'inattention ^^ J'ai oublié d'ajouter le $ + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $ à $ v_n $

Donc si on prends $ v_n = \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $, on a bien l'équivalence entre les deux suites, alors qu'une série converge et pas l'autre.

Tu as aussi le critère de Rabee duhamel si j'ai bien orthographié mdr ça peut sauver lors d'un oral par exemple !