Forum Prepas.org

Bonjour tout le monde .
Ayant étudié la décomposition de Dunford je me demandais à quoi cette décomposition pourrait bien servir dans la pratique et ses applications .
Si vous aviez certains exo à me filer , exemples ou des applications de cette décomposition prière de les partager ici et merci !!

La décomposition de Dunford est très utile pour calculer l'exponentielle d'un endomorphisme $ u $. En effet puisque les deux endomorphismes $ d $ et $ n $ (le diagonalisable et le nilpotent) commutent, $ \exp(u) = \exp(d+n) = \exp(d)\exp(n) $
L'exponentielle de d est simple a calculer puisque d est diagonalisable, et l'exponentielle de n est aussi simple a calculer car n est nilpotent, et donc tout les termes "d'ordre supérieurs" dans l'exponentielle disparaissent.

Pour pousser la logique un peu plus loin, ces mêmes exponentielles sont utiles à la résolution d'équations différentielles.

Les puissances de matrices sont plus faciles à calculer comme l'explique LeCanard, donc tout ce qui est diagonalisation et calcul de valeurs propres devient plus simple. En conséquence, les techniques de calcul numérique bénéficient de tout ça

Mercii
Et en algèbre , en quoi cette décomposition pourrait bien être utile !

Si tu vois ce que c'est qu'un produit tensoriel, prends A et B deux matrices carrées de taille n et montre que si A tenseur B est non nul et diagonalisable alors A et B le sont

Ce n'est pas plutôt la réciproque qui est vraie ? (i.e si A et B sont diagonalisables alors A tenseur B est diagonalisable) Ou alors serait-ce une équivalence ?

C'est un equivalence sauf dans le cas ou A ou B est nulle et l'autre peut valoir n'importe quoi (exo tombé à Lyon cette année, j'en sais quelque chose ^^')

Ah d'accord, je ne savais pas