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Soit $ (u_{n}) $ une suite réelle qui converge vers 0
Montrer qu'il existe une suite $ \varepsilon _{n} $ à valeurs dans {-1,1} telle que la série $ \sum _{n}\varepsilon _{n}u_{n} $ soit convergente

Bon , au premier tu peux t'arranger pour la rendre une somme telescopique
$ S_{n}=\sum_{k=0}^{n} e_{k}u_{k}=\sum_{k=0}^{n} (e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1})-e_{k+1}u_{k+1}=\sum_{k=0}^{n}(e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1}) -\sum_{k=1}^{n+1}e_{k}u_{k} $ donc
$ 2s_{n}=\sum_{k=0}^{n} (e_{k}u_{k}+e_{k+1}u_{k+1})-e_{n+1}u_{n+1}+e_{0}u_{0} $ ,
tu prend une suite qui oscille $ e_{0}=1 , e_{1}=-1 $ ... $ e_{2k}=1 , e_{2k+1}=-1 $
pour conclure il suffit de verifier que $ S_{2n} $ et $ S_{2n+1} $ tendent vers la même limite .
je te laisse le vérifier , si cela marche pas tu me le signale pour qu'on pense a autre chose...

Ou sinon il suffit de choisir $ \varepsilon_n $ de sortes qu'on puisse appliquer le théorème sur les séries alternées.

oui j'ai pensé a cela au début mais on a pas d'information sur la monotonie de la suite

déjà on peut ramener le problème au cas ou (u_{n}) est positive , en effet on choisit $ e_{n}=a_{n}b_{n} $ tel que
$ b_{n}=signe(u_{n}) $ maintenant $ v_{n}=b_{n}u_{n} \to 0 $ et $ v_{n}\geq 0 $ il suffit de trouver $ a_{n}\in \{-1,1\} $ tel que $ \sum a_{n}v_{n} $ converge . bon pour le critére special on peut le forcer avec le lemme des piques mais cela complique le problème quand on voit qu'un télescopage peut être formé

Walid2018 a écrit : ↑

21 déc. 2017 11:26

Soit $ (u_{n}) $ une suite réelle qui converge vers 0
Montrer qu'il existe une suite $ \varepsilon _{n} $ à valeurs dans {-1,1} telle que la série $ \sum _{n}\varepsilon _{n}u_{n} $ soit convergente

Essaye de construire une suite de sommes partielles qui oscille autour de 0.
L'idée est la suivante : dès que S_n change de signe, tu change de direction en changeant de valeur de eps_n

Très jolie en gros si , S_{n} dépasse epsilon on ajoute de termes négatifs , si S_{n} se rapproche dangereusement de - epsilon on ajoute des termes positifs de sorte a garder les sommes partiels dans la bandes [-epsilon , +epsilon ] .

oty20 a écrit : ↑

21 déc. 2017 21:02

déjà on peut ramener le problème au cas ou (u_{n}) est positive , en effet on choisit $ e_{n}=a_{n}b_{n} $ tel que
$ b_{n}=signe(u_{n}) $ maintenant $ v_{n}=b_{n}u_{n} \to 0 $ et $ v_{n}\geq 0 $ il suffit de trouver $ a_{n}\in \{-1,1\} $ tel que $ \sum a_{n}v_{n} $ converge . bon pour le critére special on peut le forcer avec le lemme des piques mais cela complique le problème quand on voit qu'un télescopage peut être formé

je viens de voir , comment finir a partir de ce chemin , comme (v_{n}) est positive et tend vers 0 , on dispose d'une bijection strictement croissante f de N vers N , tel que , v_{f(n)} tend vers 0 et (v_{f(n)}) est décroissante ,
maintenant
$ S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}v_{k}=\sum_{k=0}^{n} a_{f\circ f^{-1}(k)}v_{f\circ f^{-1}(k)}=\sum_{j=f^{-1}(0) }^{f^{-1}(n)}~~a_{f(j)}v_{f(j)} $ maintenant on peut choisir (a_{n}) de sorte a appliquer le critère spécial

En travaillant avec |Un|, une suite positive qui converge vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang.

À partir de là, le résultat tombe par majoration et critère spécial.

Lily1998 a écrit : ↑

22 déc. 2017 19:00

En travaillant avec |Un|, une suite positive qui converge vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang.

Ben non. Contre exemple : prendre un terme sur deux 1/n et un terme sur deux 1/(n^2).