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Bonjour,

Soit $ M $ une variable aléatoire entière, $ X_{i} $ une suite (non idd a priori) à valeurs dans un ensemble mesuré $ E $ et $ Y_{i} $ une suite iid à valeurs dans un ensemble mesuré $ F $; on note $ \nu $ la loi commune. On suppose les $ Y_{i} $ indépendantes de $ M $ et des $ X_{i} $.

Comment montrer que $ \mathbb{E}(\exp(-\sum_{i = 1}^{M} f(X_{i}, Y_{i}) | \sigma(M, X_{i}))) = \exp (-\sum_{i = 1}^{M} g(X_{i})) $ où $ g(x) = ln(\int_{F}\exp(-f(x, y)) d\nu(y)) $?

C'est (presque un peu trop) difficile pour un taupin, comme tu peux t'en douter (pour le(la)quel(le), ne serait-ce que la notion de mesure n'est pas au programme)...

Même si Dattier&co vont peut être s'amuser à chercher la réponse, pourquoi ne pas aller sur math.stackexchange.com et autres ?

(un peu comme les deux posts précédents ?)

Bonjour

par ailleurs vu la différence des notations qu'on peut trouver partout, il n'est pas inutile de rappeler ce que veut dire celles que tu utilises ($ \sigma(M, X_i) $ ne me dit rien par exemple)

J'avais oublié que le forum était pour les prépas, j'ai aussi posté sur mathématiques.net.

@bullquies: c'est la tribu engendrée par les M, Xi

> Classe : M2
Ah oui...

J’imagine qu’on conditionne par rapport à $ \sigma(M,X_1,...,X_n) $ (tu n’as pas quantifié le $ i $ qui intervient dans la partie conditionnement).

Dans ce cas, ton résultat provient automatiquement d’un résultat plus général: si $ \mathcal{H} $ est une sous-tribu, $ X $ mesurable par rapport à $ \mathcal{H} $, $ Y $ indépendante de $ \mathcal{H} $ alors si $ f $ est une fonction mesurable, on a:
$ \mathbb{E}(f(X,Y)|\mathcal{H}) = h(X) $ où $ h(x) = \mathbb{E}(f(x,Y)) $ (résultat trivial en utilisant la définition de l’espérance conditionnelle).

(PS: si on connaît bien son cours, il n’y a pas lieu de « s’amuser » à chercher la réponse, étant donné qu’elle saute aux yeux).