Forum Prepas.org

Bonsoir à tous
J'ai une question peut pertinente voire un peu débile mais personne ne daigne me donner une reponse claire :
Ce fameux TAF s'applique sur une fonction continue sur [a;b] ---> Ok très bien
Sur une fonction dérivable sur ]a;b[ ---> mais pourquoi diable l'intervalle est-il ouvert !!!???
Notre prof ne nous a rien dit à ce sujet ..
Merci d'avance!

Car ce sont les hypothèses "minimales" pour appliquer le théorème de Rolle, dont le TAF est une conséquence...
Evidemment que le résultat reste vrai si la fonction est dérivable sur $ $$[a,b]$ (bien que la notion de dérivabilité "naturelle" soit mieux définie sur un ouvert).

Ah C'était donc aussi bête que ça ...
Merci beaucoup en tout cas

bonjour , il me semble qu'on pourrait ajouter que la notion de dérivabilité en un point , est défini a partir de la dérivabilité a droite et dérivabilité a gauche, Travailler sur un ouvert est donc ''naturelle'' vis a vis de cette définition , cela enlève le problème de dérivabilité au bornes .

Bonjour,

il me semble qu'on pourrait ajouter que la notion de dérivabilité en un point , est défini a partir de la dérivabilité a droite et dérivabilité a gauche

Non, la définition repose sur la notion de limite et pas celle de direction (cf. définition générale de la différentiabilité dans des espaces où "droite" et "gauche" ne veulent a priori rien dire). Que ça coïncide sur $ \mathbb{R} $ est plus un accident.

Question : soient $ E $ et $ F $ deux espaces vectoriels réels, $ f:E\to F $ une application et $ x\in E $. On suppose que pour toute courbe $ \gamma : \mathbb{R}\to E $ telle que $ \gamma(0)=x $ la fonction $ f\circ\gamma $ est dérivable en $ 0 $. Est-il vrai que $ f $ est différentiable en $ x $ ? C'est-à-dire : est-il vrai qu'il existe une application linéaire continue $ df(x): E\to F $ telle que : $ f(x+h)=f(x)+df(x)(h)+o_{0}(h) $

C'est toujours vache les histoires de dérivation pour les fonctions à plusieurs variables. Y'a toujours moyen de se planter à l'intuition.

Define "f est dérivable en x".

siro a écrit : ↑

05 mars 2018 15:10

Define "f est dérivable en x".

Done

La réponse est oui, de mémoire de géométrie différentielle (et quand on est dans un espace plongé dans IR^n ; si on visualise le graphe de f comme une variété, la différentielle s'écrit avec la matrice des dérivées partielles).
Mais on sort légèrement du programme de prépa.

La réponse est non justement si $E$ n'est pas de dimension finie!

Oui non mais tout de suite les cas moisis XD
(Je me doutais bien qu’il y aurait un piège en dimension quelconque. J’ai touché qu’à la géodiff en dimension finie.)