Continuité

[gonfricks]

soit $ f $ une fonction réelle continue ,telle que pour tout $ a<b $ réelles , il existe $ c\neq d $ qui vérifient : $ f(c)=f(d)=\min_{x \in[a,b]}f(x) $ .
Que dire de $ f $ ?

Je dirais qu elle est constante mais je n’arrive pas a le prouver , des pistes ? Merci .

[matmeca_mcf1]

Supposez que $ f $ n'est pas constante et construisez un intervalle $ [a,b] $ sur lequel le minimum n'est atteint qu'en un point. Je ne vois pas comment donner plus d'indices sans résoudre l'exercice.

[oty20]

Jolie exo , je laisse ma solution en spoiler , pour avoir vos remarques si jamais elle est fausse :

SPOILER:

Supposons que $ f $ n'est pas constante , on dispose donc de deux réelles $ x<y $ tel que $ f(x)\neq f(y) $ , Regardons ce qui se passe au niveau du segment $ [x,y] $ , pour $ t \in [0,1] $ on pose :
$ h(t)=f(tx+(1-t)y) $ , de la condition , on dispose de $ x_{1}<y_{1} $ de sorte que : $ h(x_{1})=h(y_{1})=\min_{r \in [x,y]} f(r) $ ansi , $ \forall t \in [0,x_{1}] h(t) \geq h(x_{1}) $ et $ \forall t \in [y_{1},1] : h(t)\geq h(y_{1}) $ ,et en particulier $ h(0) \geq h(y_{1}) $ and $ h(1) \geq h(x_{1}) $ , de la on voit que la condition permet de recoller les bouts , En effet on peut construire de manière inductif grâce a l’hypothèse sur $ f $ une suite $ (x_{k}) $ décroissante vers $ 0 $ et une suite $ (y_{k}) $ croissante vers $ 1 $ vérifiant : $ \forall k \in \mathbb{N} :~~h(0)\geq h(y_{k}) $ et $ h(1) \geq h(x_{k}) $ , supposant $ x_{1}\geq...\geq x_{k} $ construit d’après la condition , on dipose $ x_{k+1} \in [0,x_{k}] $ tel que $ h(x_{k+1}) \leq h(x_{k}) \leq 1 $ ce qui conclut la construction de $ (x_{k}) $ , celle de $ (y_{k}) $ est similaire . Maintenant comme pour tout $ n $ , $ h(1) \geq h(x_{n}) $ et $ h(0)\geq h(y_{n}) $ au passage a la limite , il vient $ h(0)\geq h(1) $ et $ h(1)\geq h(0) $ , c'est-a-dire que $ h(0)=h(1) $ ce qui est clairement une contradiction .

je résume les étapes , en guise de pistes :
1)Raisonner par l'absurde
2)Considérer la fonction $ h(t)=f(tx+(1-t)y) $ , $ t\in [0,1] $
3) Construire deux suites $ (x_{n}) ,(y_{n}) $ de sorte que $ h(1) \geq h(x_{n}) $ et $ h(0) \geq h(y_{n}) $
4)Conclure .

[darklol]

Mmh, arrêtez moi si je me trompe ou si j’ai mal compris l’énoncé, mais il me semble que la fonction $ f:x \longmapsto \sin(x) $ vérifie les conditions de l’énoncé, non? Il faudrait pas préciser que $ c $ et $ d $ doivent être dans $ [a,b] $?

[matmeca_mcf1]

Vous avez raison. Oui, il faut préciser que c et d sont dans [a,b].

[oty20]

oui j'ai travaillé avec c,d dans [a,b] , sinon c'est faux .

[matmeca_mcf1]

oty20, je regarderai votre solution demain.

[oty20]

Merci infiniment , Professeur , bonne fin de soirée .

[Nabuco]

A priori les suites exhibées convergent par monotonie, mais pas forcément vers 0 et 1 comme prétendu.
Néanmoins, en se plaçant sur l intervalle fermé entre a et b si a <b, et en travaillant sur l inf des points où f vaut le min de f sur cet intervalle (resp max) on obtient que c'est a (resp b) par continuité, et on obtient donc f constante

[oty20]

Bonsoir Nabuco , je pense que si on peut choisir la suite convergente vers 0 , déjà par construction elle est décroissante minoré , donc elle converge , soit l sa limite , si l est différent de 0 , l'algorithme continue on peut poursuivre la construction ..... pareil pour l'autre suite .