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Bonsoir a tous,

Il s'agit d'une question (III.2) du très 'sympathique' sujet de PC de ce matin sur laquelle je voulais avoir vos éventuelles pistes de résolution.. Un raisonnement de dénombrement semble s'imposer mais je n'ai pas vraiment vu par ou le prendre...

On introduit une variable aléatoire uniforme $ Z :\Omega\rightarrow \left \{-1,1 \right \}^n $
Pour $ \omega\in\Omega $ on note $ Z_i(\omega) $ les coordonnées de $ Z(\omega) $. Montrer que pour tout
$ A \in M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) $
on a
$ \forall i\in \left \{1,...,n\right\}, E[\left |\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} Z_{j} \right |]=\frac{1}{2^n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left |n-2k \right | $

Ou $ M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) $ est l'ensemble des matrices de coefficients $ 1 $ ou $ -1 $

Bonne soirée et bonne suite ces jours-ci

Soit $ A \in M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) $. Soit $ i $ dans $ \{1,\ldots,n\} $. On pose
$$ B_{k,n}=\{x\in\{-1,1\}^n:\mathrm{card}(\{j\in\{1,\ldots,n\}:a_{ij}x_j=1)=k\}. $$
Les $ B_{k,n} $ forment une partition de $ \{-1,+1\}^n $ pour $ k $ dans $ \{0,\ldots,n\} $.

On a alors
$$
\begin{split}
E[\left \lvert \sum_{j=1}^{n} a_{ij} Z_{j} \right \rvert&=
\sum_{k=0}^n\sum_{\omega\in Z^{-1}(B_{k,n})}\frac{1}{2^n}\left\lvert\sum_{j=1}^na_{ij} Z_{j}(\omega)\right\rvert\\
&=\sum_{k=0}^n\sum_{\omega\in Z^{-1}(B_{k,n})}\frac{1}{2^n}\lvert2k-n\rvert\\
&=\sum_{k=0}^n\mathrm{card}(B_{k,n})\frac{\lvert n-2k\rvert}{2^n}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{\lvert n-2k\rvert}{2^n}
\end{split}
$$

On est passé de la notation $ C_n^k $ à la notation $ \binom{n}{k} $ en prépa?

EDIT changement scosmétiques dans les formules et corrections de typos sur ) }

EDIT 2: changement B_{k,n} partition de {1,...,n} en partition de {-1,1}^n

Bonsoir,
Je me replonge pas dans le sujet ce soir .......
Mais je peux dire quand même que j'ai trouvé l'épreuve plutôt très difficile
Bon courage à tous

matmeca_mcf1 a écrit : ↑

18 avr. 2018 21:03

On est passé de la notation $ C_n^k $ à la notation $ \binom{n}{k} $ en prépa?

oui

un sujet exclusivement probas ?

oty20 a écrit : ↑

18 avr. 2018 21:10

un sujet exclusivement probas ?

probas, analyse, dénombrement...il y avait beaucoup de choses, quand même assez difficile..

matmeca_mcf1 a écrit : ↑

18 avr. 2018 21:03

Soit $ A \in M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) $. Soit $ i $ dans $ \{1,\ldots,n\} $. On pose
$$ B_{k,n}=\{x\in\{-1,1\}^n:\mathrm{card}(\{j\in\{1,\ldots,n\}:a_{ij}x_j=1)=k\}. $$
Les $ B_{k,n} $ forment une partition de $ \{1,\ldots,n\} $ pour $ k $ dans $ \{0,\ldots,n\} $.
On a alors
$$
\begin{split}
E[\left \lvert \sum_{j=1}^{n} a_{ij} Z_{j} \right \rvert&=
\sum_{k=0}^n\sum_{\omega\in Z^{-1}(B_{k,n})}\frac{1}{2^n}\left\lvert\sum_{j=1}^na_{ij} Z_{j}(\omega)\right\rvert\\
\end{split}
$$

Bonjour Professeur , je ne comprend pas bien les notations , les $ B_{k,n} $ contiennent des $ n-uplet ,x $ non ? si c'est le cas comment peuvent t'il former une partition de $ \{1,...,n\} $ , je ne comprend pas la formule de l’espérance non plus .

On peut remarquer que quand exactement $ k $ indices de $ (z_{j}) $ coïncident avec le signe de leurs $ a_{i,j} $ respectivement , alors en notant (pour simplifier l’écriture tex ) $ X=\sum_{j=1}^{n} a_{i,j}z_{j} $ , $ |X|=|2k-n| $
d’après le théorème fondamental de Kolmogorov ; soient $ (S_{j})_{j\in [[1,n]]} $ des variables aléatoire mutuellement indépendantes tel que :
$ S_{j} \sim a_{i,j}Z_{j} $

Soit $ i_{1}<...<i_{k} $ alors : $ P(|X|=|2k-n|)=P(\cup_{\{i_{1},..,i_{k}\} \subset [[1,n]]^{k}}~~(S_{i_{1}}=1,...,S_{i_{k}}=1,S_{i_{k+1}}=-1,..,S_{i_{n}}=-1)~~)
\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{\{i_{1},..,i_{k}\} \subset [[1,n]]^{k}}P((S_{i_{1}}=1,...,S_{i_{k}}=1,S_{i_{k+1}}=-1,..,S_{i_{n}}=-1)~)
\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{\{i_{1},..,i_{k}\} \subset [[1,n]]^{k}} \frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2^{n}} \binom{n}{k} $ de la on peut tirer la formule demander sauf erreur de ma part .

oty20 a écrit : ↑

19 avr. 2018 06:14

je ne comprend pas bien les notations , les $ B_{k,n} $ contiennent des $ n-uplet ,x $ non ? si c'est le cas comment peuvent t'il former une partition de $ \{1,...,n\} $ , je ne comprend pas la formule de l’espérance non plus .

Je voulais dire partition de $ \{-1,+1\}^n $. C'est corrigé maintenant. De cette manière les $ Z^{-1}(B_{k,n})_{0\leq k\leq n} $ forment une partition de $ \Omega $.

Quelqu'un pourrait poster le sujet s'il vous plaît ?