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Bonsoir, il y'a un truc que je ne saisis pas.
Lorsqu'on construit une suite pour certaines preuves, n'utilise t-on pas un tout petit peu l'axiome du choix pour poser la suite (sachant qu'on ne précise aucun procédé de choix, et qu'on se contente de dire, "pour tout n, l'ensemble E_n est non vide, choisissons un élément x_n, alors la suite x_n blablabla..."

L'exemple que j'ai en tête, c'est la démonstration du théoréme de Heine, ou à un moment on dit : "Pour tout entier n, il existe u_n et v_n tel que ...blablabla"

Désolé si la question est bête, mais elle me taraude depuis un moment

On utilise souvent l’axiome du choix dénombrable ou l’axiome du choix dépendant sans s’en rendre compte en effet. Ça n’est pas un problème et tu n’as besoin de te poser cette question niveau prépa (même si c’est une bonne chose que tu te la poses).

Tout d'abord, ce n'est qu'un détail mais selon moi dire : "il existe u_n et v_n tels que blabla..." n'utilise pas l'axiome du choix en soi, par contre dire "soit u_n et v_n tels que blablabla..." si car dans le premier cas u_n et v_n sont juste des variables muettes qui n'existent plus après la fin de la phrase mais dans le deuxième cas on définit vraiment des objets qu'on peut réutiliser dans la suite de la preuve, et c'est dans le passage entre ces deux étapes, souvent implicite quand on rédige des maths, que réside d'après moi l'utilisation de l'axiome du choix. Mais revenons à ta question :

Sans hypothèses sur E_n, en effet on a souvent affaire à un avatar de l'axiome du choix, dépendant si la définition de E_n dépend de x_n-1, dénombrable sinon (le dénombrable étant naturellement moins fort que le dépendant et très souvent accepté pour faire de l'analyse).

Cependant dans le cas de R on peut souvent s'en passer, je ne sais pas exactement quelle démonstration tu as en tête pour Heine, mais si tu regardes, il est sans doute possible de choisir les u_n et v_n rationnels, auquel cas pas besoin de choix : il suffit de se donner une énumération des rationnels (on peut la construire explicitement sans choix en les énumérant successivement par ordre croissant ([-N²;N²] inter Z)/N (division élément par élément) pour tout N entier) et une fois qu'on a cette énumération disons (s_k), on peut considérer l'ensemble des k tels que prendre u_n = s_k convienne. Cet ensemble est inclus dans N, non vide (par hypothèse de "il existe...rationnel") donc admet un plus petit élément k_0, et poser u_n = s_k_0 n'utilise pas l'axiome du choix.

En d'autres termes, il arrive régulièrement en analyse (réelle du moins) qu'on ait un choix canonique à faire qui permet d'éviter l'axiome du choix. Bien entendu, inutile d'expliciter ça dans une copie de prépa (sauf dans un DS sur l'axiome du choix, qui sait ^^)

Merci de vos réponses. Ça me rassure un qu'on me dise que c'est plus compliqué que ça en l air, je craignais être complètement à côté de la plaque.
Bonne fin de journée

@Desert Effectivment mieux vaut ne pas se rajouter des difficultés tant que tu es en prepa ! Disons que tu n’as pas besoin de tout ça pour comprendre et utiliser ton cours (normalement). Mais ne t’en fais pas, tu trouveras en école / à l’ENS de nombreuses personnes férues de ce genre de question !

L'axiome du choix dénombrable est très raisonnable à supposer (et en vrai je connais personne autour de moi qui juge sérieusement qu'on doive s'en passer). C'est les axiomes plus forts qui sont plutôt délicats à supposer (sauf à aimer multiplier les petits pains comme Jésus).

En maths applis, on utilise souvent de l'analyse fonctionnelle. En analyse fonctionnelle, beaucoup de résultats reposent sur le théorème de Hahn-Banach dont la démonstration repose sur Zorn et donc sur l'axiome du choix. Donc, on ne se pose pas de question, on travaille en utilisant l'axiome du choix de toute façon.

Newton_ a écrit : ↑

23 avr. 2018 11:16

@Desert Effectivment mieux vaut ne pas se rajouter des difficultés tant que tu es en prepa ! Disons que tu n’as pas besoin de tout ça pour comprendre et utiliser ton cours (normalement). Mais ne t’en fais pas, tu trouveras en école / à l’ENS de nombreuses personnes férues de ce genre de question !

Peut-être à Ulm où vous suivez un cours de logique mathématiques. Mais à Paris-Saclay(Cachan à l'époque), où le choix d'insister sur les maths applis avait été fait, on apprenait juste à utiliser Zorn (pour Hahn-Banach) que l'on admettait (j'avais lu la démo équivalence choix, zermelo, zorn en spé). À Cachan, nous n'avons jamais suivi de cours de logique mathématique, ni de cours de théorie des ensembles, ni étudié les différences entre les divers axiomes du choix (dénombrable,...). En école d'ingénieurs, on ne parlera jamais d'axiome du choix, version dénombrable ou autre, ni de Zorn (excepté peut-être à l'X).

Pour ta culture, je te laisse réfléchir à ça :

https://www.youtube.com/watch?v=wPEYoW0 ... 94D40392AB

On est pas obligés d'être d'accord, mais pour ne pas être d'accord il faut d'abord pondérer le pour et le contre par soi-même. Il y a des entiers naturels qu'on ne sait même pas comparer comme tu peux le voir à la fin. Et ce n'est pas le seul problème malheureusement.

C'est une notation un peu zarb bullquies. C'est plutôt la notation de knuth qu'on utilise. https://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_ ... s_de_Knuth

Mais y'a encore plus brutal comme notation... les notations fléchées de Conway : https://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_ ... _de_Conway
(deux flèches correspondent à quelque chose avec des flèches de knuth, et trois flèches c'est déjà nettement plus gros)

Pour l'anecdote, le plus grand nombre jamais utilisé pour une démonstration (jusque dans les années 80) c'est le nombre de Graham, et c'est juste chimérique de pouvoir se le représenter cognitivement (et même de représenter son image par autant de compositions de log que d'atomes dans l'univers) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Graham

matmeca_mcf1 a écrit : ↑

23 avr. 2018 13:44

En maths applis, on utilise souvent de l'analyse fonctionnelle. En analyse fonctionnelle, beaucoup de résultats reposent sur le théorème de Hahn-Banach dont la démonstration repose sur Zorn et donc sur l'axiome du choix. Donc, on ne se pose pas de question, on travaille en utilisant l'axiome du choix de toute façon.

En même temps vu la gueule des espaces en analyse fonctionnelle...