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Bonjour quelqu'un a fait la planche numéro 5) de l'officiel de la taupe 2017 http://www.odlt.fr/Oraux_2017.pdf ?

Magnifique question , comme par hasard j'ai trouvé une preuve sous forme de problème qui était un sujet de la session 2015 du CNC https://cpge.ma/wp-content/uploads/2013 ... 6039655313

problème 2) , le sujet semble proposé une preuve probabiliste , contrairement a l'énoncé de l'exercice qui stipule une preuve directe .

J'avais deux pistes, que je n'arrive pas à faire aboutir:


-Une méthode probabiliste, un peu comme dans le sujet, sans arriver à conclure :
Si $ S_n $ est la marche aléatoire symétrique sur $ \mathbb{Z^d} $ (ce sont les $ Y_n $ de ton énoncé) alors on a : $ \forall x, f(x) =\mathbb{E} (f(x+S_n)) $. L'idée est qu'on itère l'opération de moyenne sur les voisins. De là, j'obtiens :
$$ |f(x)-f(y)| =\left|\sum_s f(s) (P(S_n=s-x) - P(S_n=s-y)) \right| \\
\leq ||f||_{\infty} \sum_s |P(S_n=s-x) - P(S_n=s-y)| $$Et je pense que cette somme tend vers $ 0 $ pour $ n $ grand, sans arriver à le prouver.


-Une autre méthode, inspirée de la théorie des fonctions harmoniques dans le plan complexe. Dans ce cas là, la fonction est entièrement déterminée sur tout disque par ses valeurs sur le cercle qui le borde, et on peut l'exprimer à l'aide du noyau de poisson. Ça permet par exemple de montrer grâce à cette expression qu'une fonction harmonique bornée sur le plan est constante. Dans notre cas, je cherche un analogue discret du disque et une mesure de proba sur son bord qui permette d'exprimer $ f $ pour appliquer la même preuve, sans résultats jusque-là

Cet exercice est corrigé à la fin de ce rapport d'oral.
https://banques-ecoles.fr/cms/wp-conten ... thULCR.pdf

Merci infiniment pour vos contributions , je ne sais pas qui a proposé ce sujet pour le cnc , mais une chose a dire c'est qu'il a bon gout , j'ai beaucoup aimé la méthode probabiliste proposé .


On travail avec n-uplet c'est plus commode qu'avec les vecteurs pour la syntaxe , le cas $ d=1 $ a probablement été donné gratuitement , il ne donne pas de réelle piste de solution , par contre le cas $ d=2 $ est facilement généralisable : Supposons $ f(x,y) $ non constante , harmonique et bornée donc il existe deux consécutives point sur le même axe (x ou y) ou $ f $ prend des valeurs différentes . Quitte a faire une rotation du plan , on peut sans perdre de généralité supposer $ f(x_{0}+1,y_{0}) > f(x_{0},y_{0}) $ .

Soit $ g(x,y)=f(x+1,y)-f(x,y) $ alors est non identiquement nulle et bornée car $ f $ l'est .

Considérons $ M=sup g(x,y) $ , alors $ M>0 $ , d'autre part :

$ \frac{1}{4} (g(x+1,y)+g(x-1,y)+g(x,y+1)+g(x,y-1))=g(x,y) $ donc g est harmonique ,

Soit $ r>0 $ on dispose de $ (x,y) $ de sorte que : $ g(x,y) > M-r $ donc
$ g(x+1,y)=4 g(x,y) -g(x-1,y)-g(x,y+1)-g(x,y-1) > 4M-4r -g(x-1,y)-g(x,y+1)-g(x,y-1)\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ > 4M-3M-4r=M-4r $ , en réitérant le raisonnement on tire :

$ g(x+n,y) >M-4^{n}r $ or comme :

$ f(x+n,y)-f(x,y)=\sum_{k=0}^{n-1} g(x+k,y) $ , $ (1) $

le membre de droite est bornée , alors que celui de gauche on peut le rendre aussi grand que l'on souhaite , ce qui permet de conclure .

cette démarche ce généralise pour les dimensions supérieures .

Cela ressemble au théorème de Liouville pour les fonctions entières, mais au niveau discret, et en dimension arbitraire, et en supposant juste l'harmonicité.

Dans le sujet du cnc , le résultat est présenté comme étant celui de Liouville cas discret .

Bonjour , s'il vous plait que pensez vous de l'exo 15 I) , il n'est pas mal formulé , pourquoi il y a cette convention de calcule ?

Il me semble qu'il y a que trois cas possible 0, 1 ou une infinité ?

La bonne formulation est "en position générale" ; c'est à dire qu'elles ne se croisent pas deux à deux, ne sont pas coplanaires... En gros on élimine les cas exceptionnels

Mais quelle est la loi de probabilité ?