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Bonsoir, j'aimerais démontrer par recurrence que pour tous i appartenant à N*

(X+1)^i-X^i est différent de 0

L'initialisation est évidente mais je bloque sur l’hérédité, je vous remercie d'avance pour vos conseils

Binôme de Newton puis tu dis qu'une somme de termes positifs ne vaut 0 que si tous les termes sont nuls.

EDIT: si jamais des taupins curieux tombent sur ce post, n'essayez pas de comprendre mon message il est completement faux

Salut,
La récurrence est inutile: si $ P_i(X) = (X+1)^i-X^i $ alors $ P_i(0) = 1, \forall i \geq 1 $ donc $ P_i\neq 0 $

Je ne comprends pas pourquoi la recurrence est inutile
et je ne vois pas non plus comment faire avec le binôme

noro a montré que pour n'importe quel $i$, le polynôme $P_i$ prend la valeur $1$ quand tu l'évalues en $0$. Du coup, il ne peut pas être le polynôme nul, vu qu'il y a un endroit où il n'est pas nul.

Effectivement, j'ai supposé qu'il voulait l'egalite pour tout x dans R (et non pas une égalité entre polynomes).
Avec binôme cela se montre bien et sans récurrence... Où bloques-tu?

salut

on peut trouver une relation de récurrence entre les polynomes P_n :

$ P_{n + 1} (x) = (x + 1)^{n + 1} - x^{n + 1} = (x + 1)P_n(x) + (x + 1)x^n - x^{n + 1} = (x + 1)P_n(x) - x^nP_1(x) $

mais jamais tu ne pourras démontrer une telle propriété (ton exercice) par récurrence ... ou en utilisant cette relation ...

regarde simplement ce que vaut $ P_n(-1/2) $ ...


même avec un polynome aussi simple que $ P_n(x) = x - n $ : jamais tu ne pourras démontrer par récurrence la relation : $ P_n $ s'annule en n => $ P_{n + 1} $ s'annule en n + 1 qui est pourtant vraie