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Bonjour,
je rencontre une difficulté à définir le caractère borné d'un endomorphisme, pourriez-vous m'aider ?
Pour le contexte je devais montrer que :
Pour E un R-ev de dimension n et K un compact de E
Si Vect(K)=E alors L_k={f appartenant à L(E) tel que f(K) inclu dans K} est compact

En effet je peux justifier le caractère fermé de cet un ensemble mais je n'arrive pas à justifier le fait qu'il soit bornée sans utiliser la norme triple (Qui n'est pas au programme)

Comme vect(K)=E K contient une base e1..en de E. Il suffit de considérer la norme valant la somme des valeurs absolues des u(ei) qui te donne facilement le caractère borné.

Nabuco a écrit : ↑

04 juil. 2018 21:01

Comme vect(K)=E K contient une base e1..en de E. Il suffit de considérer la norme valant la somme des valeurs absolues des u(ei) qui te donne facilement le caractère borné.

Merci pour la réponse,
Pourrais tu rédiger la preuve s'il te plait ?

Comme vect(K)=E K contient une base $ e_{1} \dots e_{n} $ de E.
$ N(f)=\sum \limits_{i=1}^{n} |f(e_{i})| $ est une norme sur L(E). L'homogénéité est immédiate. L'inégalité triangulaire ne pose pas de problème. La positivité est évidente, et si $ N(f)=0 $ f est nulle sur une base de E, donc nulle.
Soit $ r>0 $ tel que $ K\subset B(0,R) $ (K est borné). Pour tout f telle que $ f(K) \subset K, N(f)\leq nR $. Ainsi la partie en question est bornée.

Merci beaucoup !