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Bonsoir, un ami a reçu l’exercice suivant a l'oral,

$ E=C^{0}([0,1],\mathbb{R}) $, soit $ f\in E $ on définit :

$ Tf= \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t)dt $ , $ Tf(0)=f(0) $.

On définit par récurrence $ Tf^{n}=T(Tf^{n-1}) $ .

on suppose qu'il existe $ a>0 $ tel que : $ \forall x \in [0,a] : f(x)=0 $ (A) .

Montrer que $ (Tf^{n}) $ converge uniformément vers 0 .

Voici ma tentative de résolution :
On pose pour $ x\in [0,1] $ et $ n \in \mathbb{N} $,$ g_{n}(x)=Tf^{n} $ on a : $ g_{n}(x)=0 \forall x \in [0,a] $ , On étudie donc ce qui ce passe sur $ [a,1] $

$ soit x \in [0,1] $

on a $ |g_{1}(x)|=\frac{1}{x}| \int_{a}^{x} f(t) dt| \leq \frac{M}{a} (x-a) $ ,$ M >0 $ une constante donnée par continuité de $ f $.

$ |g_{2}(x)| \leq \frac{M}{a^{2}} \int_{a}^{x} (t-a)dt=\frac{M}{a^{2}} \frac{(x-a)^{2}}{2!} $, enfin on voit la récurrence .... $ |g_{n}(x)|\leq \frac{M}{a^{n}} \frac{(x-a)^{n}}{n!} \leq \frac{M}{n!} (\frac{1-a}{a})^{n} \leq M \frac{x_{0}^{n}}{n!} $ avec $ x_{0}=\frac{1}{a} $, comme la série exponentielle $ \sum \frac{x_{0}^{n}}{n!} $ converge alors $ \frac{x_{0}^{n}}{n!} \to 0 $ et donc comme

$ ||g_{n}(x)||_{\infty} \leq M \frac{x_{0}^{n}}{n!} $ cela permet de conclure .


Ma question si on enlève la condition (A), que peut on dire sur la convergence uniforme de cette suite de fonctions ?

Merci pour votre intérêt, et contribution .

Ça va converger uniformément vers $ f(0) $.
Pour le voir, on peut supposer $ f(0)=0 $ et alors si l'on fixe $ \epsilon>0 $, la continuité de $ f $ en 0 permet d'écrire $ f=g+h $ avec $ ||g||_\infty\leq\epsilon $ et $ h $ vérifiant l'hypothèse (A). En remarquant que la norme d'opérateur de $ T $ est inférieure à 1 et en utilisant ce que tu as déjà prouvé, on trouve bien :
$$\limsup_{n\rightarrow\infty}|| T^n f||_\infty\leq\epsilon$$

@Dattier exo19 : http://www.denischoimet.com/Exercices_f ... s_1718.pdf

@K-ter: Merci beaucoup, je vais méditer sur votre poste et revenir vers vous .

@Dattier : Si, $ Tf $ est bien dans $ E $ et pour le coup c'est plutôt immédiat (il y a juste à vérifier la continuité en 0 grâce au théorème fondamental de l'analyse). Dans ton exemple tu as fait une erreur de calcul, on a $ Tf(x) =\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x^2+1}-1\right)=\frac{-x} {x^2+1} $

K-ter a écrit : ↑

06 juil. 2018 00:33

Ça va converger uniformément vers $ f(0) $.
Pour le voir, on peut supposer $ f(0)=0 $ et alors si l'on fixe $ \epsilon>0 $, la continuité de $ f $ en 0 permet d'écrire $ f=g+h $ avec $ ||g||_\infty\leq\epsilon $ et $ h $ vérifiant l'hypothèse (A). En remarquant que la norme d'opérateur de $ T $ est inférieure à 1 et en utilisant ce que tu as déjà prouvé, on trouve bien :
$$\limsup_{n\rightarrow\infty}|| T^n f||_\infty\leq\epsilon$$

Magnifique! je ne connaissais pas la notion de norme d'opérateur, si j'ai bien compris:

$ 1 $ appartient à l'ensemble des $ C >0 $ qui vérifient : $ N(Tf) \leq C ||f||_\infty $, ce qui explique que la norme d'opérateur de T est inférieure à 1 .


Par continuité de $ f $ en $ 0 $, on dispose de $ r>0 $ tel que : $ \forall x \in [0,r] : |f(x)| \leq \varepsilon $

on pose $ g=f ,~~ x \in [0,r] $ , $ g=f(r),~~x\in [r,1] $ , $ h=0 ,~~x\in [0,r] $ ,$ h(x)=f(x)-f(r) , x \in [r,1] $ , on a bien
$ f=g+h $ , avec $ ||g||_\infty \leq \varepsilon $ .

Maintenant $ ||T^{n}f||_\infty \leq ||T^{n}g_{f}||_\infty + ||T^{n}h_{f}||_\infty $ , c'est ici ou je pense peut être avoir mal compris la suite,

pour utiliser la norme d'opérateur, vous êtes passer au sup sur $ E $ ,

$ sup_{f \in E} ||T^{n}(f)|| \leq ||T||_{op}^{n} ||g_{f}||_\infty + sup_{f \in E} ||T^{n}h_{f}||\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq \varepsilon + sup_{f\in E} ||T^{n}h_{f}||_\infty $ .

Ici on dirait que vous ne regardiez plus la suite de fonctions réelles $ g_{n}(x)=T^{n}f(x) $ , mais plutôt la suite d'opérateur $ (T^{n}) $ du coup la notion de convergence uniforme change de sens .


Par rapport a votre démonstration, il semblerait qu'elle est motivé par le fait d'avoir prédit au préalable la convergence vers $ f(0) $ , ce que je n'ai pas réussi a faire, en effet je croyais que l’hypothèse (A) dans l'exercice d'oral permettait de s'éloigner de $ 0 $ , cela m'a incité a penser que le comportement en $ 0 $ de la fonction influence la convergence .
Vous avez donc montrer qu'on pouvait contrôler ce qui se passe autour de zéro , et par linéarité superposer les deux raisonnements.

Bravo! y avait t'il un moyen intuitif pour deviner la limite, outre que voir pour une fonction polynomiale, et penser que cela reste vrai sur tout l'ensemble E ?

La norme d'opérateur d'un endomorphisme continu $ L $ d'un espace vectoriel normé $ F $ est le plus petit $ C $ positif tel que pour tout $ x\in F $, $ ||Lx||\leq C||x|| $.
Donc ici ce que je dis c'est juste que $ T $ est 1-Lipschitzien ($ E $ muni de la norme $ \infty $).
D'autre part, je ne passe pas au sup sur $ E $, j'utilise la notion (hors-programme mais pratique) de limite supérieure : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite ... inférieure

Si je reformule ce sue j'ai dit sans utiliser d'outils hors-programme (limsup et norme d'opérateur), ça donne ça :
On a d'une part $ ||T^n g||_\infty\leq \epsilon $ car $ T $ 1-Lipschitzien. Et d'autre part grâce à ce que tu as montré dans ton premier post, $ ||T^n h||_\infty\leq\epsilon $ pour $ n $ assez grand. D'où pour $ n $ grand, $ ||T^n f||_\infty\leq 2\epsilon $ et la conclusion.

Pour deviner le résultat c'est une très bonne idée d'avoir regardé sur des polynômes. Ce que je me suis dit pour ma part c'est qu'on moyenne à chaque étape et que donc si limite il y a, celle-ci doit être constante. Puisque $ T $ laisse inchangée la valeur en 0, c'est la constante $ f(0) $.
Dit autrement, on a affaire à une suite récurrente du type bien connu $ u_{n+1}=g(u_n) $ avec $ g $ continue, pour laquelle la limite éventuelle est un point fixe de $ g $. Ici, les points fixes de $ T $ sont précisément les constantes

Ah ! c’était la limite sup, très joli raisonnement merci beaucoup.

K-ter a écrit : ↑

06 juil. 2018 19:18

Au passage, fais attention dans ta construction de $ g $ et $ h $ car elles doivent être continues pour que l'on puisse leur appliquer $ T $.

oui, j'ai bien fait attention a recoller les morceaux non ?

Oui en effet j'ai lu trop rapidement