Forum Prepas.org

Bonjour à tous,

Je suis confronté à un problème dont malgré mes recherches sur le net je n'ai trouvé aucune solution, même pas quelque indice:
Voici le problème:

La projection centrale d'un polygone convexe sur une sphère est elle un convexe ?

Sans me donner forcément une réponse, pouvez-vous me transmettre des sources (pas trop dure j'ai fais PC) sur lesquelles m'appuyer pour avoir une réponse ?

Merci d'avance.

P.S: Je ne suis plus en Prépa (j'ai intégré en 2016), c'est en stage que je suis rencontré à ce petit problème.

Bonjour.
La question est sympa, la première difficulté est de définir un convexe de la sphère (au sens strict, la sphère ne contient aucun segment). On peut considérer que les segments de la sphère sont les arcs de grands cercles (les grands cercles sont les cercles inscrits dans la sphère et de centre 0), puisque ce sont les plus courts chemins (dans la sphère) entre deux points.
Alors la réponse est oui : l'image d'un convexe par la projection de centre O est bien un convexe. Pour le montrer, il suffit de voir que l'image d'un segment [AB] quelconque est un arc du grand cercle qui est l'intersection de la sphère S et du plan (OAB).
Après, la transformation qui envoie une partie de la sphère sur un rectangle de pixels (s'il s'agit de traitement d'images 3D), celle-là ne préserve probablement pas la convexité.

J'ai pas bien compris, le centre de projection est le centre du polygone, celui-ci ayant une position quelconque dans l'espace et la sphère également ?
Et c'est vrai que c'est bizarre de parler de convexité en deux géométries différentes dans le même problème dans préciser ^^