Ex.50 pdf LLG
Publié : 31 juil. 2018 17:18
Bonjour, je suis en train de travailler le pdf LLG pour la transition entre terminale et MPSI. Je suis arrivé à l'ex.50 dont l'énoncé est :
(TD) Montrer que $ \forall x \in R, \cos(\sin(x))) > \sin(\cos(x) $. Pour commencer j'ai transformé le $ \sin(\cos(x)) $ en $ \cos(\frac{\pi}{2}-\cos(x)) $ afin d'appliquer $ \cos(\alpha)-\cos(\beta) = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2}) $.
J'obtiens alors que $ \cos(\sin(x))-\cos(\frac{\pi}{2}-\cos(x)) = -2sin(\frac{\sin(x)+\frac{\pi}{2}-\cos(x)}{2})sin(\frac{\sin(x)+\cos(x)-\frac{pi}{2}}{2}) $.
J'ai pensé donc à trouver le signe de cette expression afin d'établir l'inégalité : on sait que $ \sin(x) > 0 $ ssi $ 0 < x < \pi (mod.2\pi) $.
J'ai donc cherché à encadrer les termes $ \sin(x)-\cos(x) $ et $ \sin(x)+\cos(x) $ entre $ -\sqrt{2} $ et $ \sqrt{2} $, grâce à la méthode décrite dans l'exercice précédent qui proposait une factorisation de $ a\cos(x)+b\sin(x) $.
Je trouve donc que $ \sin(x)-\cos(x)+\frac{\pi}{2} $est compris entre $ \frac{\pi}{2}-\sqrt{2} $ et $ \sqrt{2}+\frac{\pi}{2} $ et donc que le premier sinus est positif car on a bien $ 0 < \sin(x)-\cos(x)+\frac{\pi}{2} < \pi $. Je fais la même chose avec le deuxième sinus et je trouve qu'il est négatif. Donc en multipliant par -2 on a quelque chose de positif et on aboutit à l'inégalité demandée. Tout d'abord est-ce que vous trouvez cette méthode correcte? Et deuxièmement, ne pensez-vous pas qu'elle est maladroite? Est-ce qu'on aurait pu faire mieux, plus vite, avec les outils dont un terminale ayant travaillé les premières pages du pdf dispose?
(TD) Montrer que $ \forall x \in R, \cos(\sin(x))) > \sin(\cos(x) $. Pour commencer j'ai transformé le $ \sin(\cos(x)) $ en $ \cos(\frac{\pi}{2}-\cos(x)) $ afin d'appliquer $ \cos(\alpha)-\cos(\beta) = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2}) $.
J'obtiens alors que $ \cos(\sin(x))-\cos(\frac{\pi}{2}-\cos(x)) = -2sin(\frac{\sin(x)+\frac{\pi}{2}-\cos(x)}{2})sin(\frac{\sin(x)+\cos(x)-\frac{pi}{2}}{2}) $.
J'ai pensé donc à trouver le signe de cette expression afin d'établir l'inégalité : on sait que $ \sin(x) > 0 $ ssi $ 0 < x < \pi (mod.2\pi) $.
J'ai donc cherché à encadrer les termes $ \sin(x)-\cos(x) $ et $ \sin(x)+\cos(x) $ entre $ -\sqrt{2} $ et $ \sqrt{2} $, grâce à la méthode décrite dans l'exercice précédent qui proposait une factorisation de $ a\cos(x)+b\sin(x) $.
Je trouve donc que $ \sin(x)-\cos(x)+\frac{\pi}{2} $est compris entre $ \frac{\pi}{2}-\sqrt{2} $ et $ \sqrt{2}+\frac{\pi}{2} $ et donc que le premier sinus est positif car on a bien $ 0 < \sin(x)-\cos(x)+\frac{\pi}{2} < \pi $. Je fais la même chose avec le deuxième sinus et je trouve qu'il est négatif. Donc en multipliant par -2 on a quelque chose de positif et on aboutit à l'inégalité demandée. Tout d'abord est-ce que vous trouvez cette méthode correcte? Et deuxièmement, ne pensez-vous pas qu'elle est maladroite? Est-ce qu'on aurait pu faire mieux, plus vite, avec les outils dont un terminale ayant travaillé les premières pages du pdf dispose?
