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Bonsoir a tous connaissez vous une preuve assez courte pour démontrer que le disque fermee de centre 0 et de rayon R est une partie compacte ? ( sans passer par les suite extraites ?)

L'image par une application continue d'un compact est un compact ( avec image reciproque éventuellement)

razdou a écrit : ↑

05 août 2018 03:22

L'image par une application continue d'un compact est un compact ( avec image reciproque éventuellement)

Ce n est pas une définition tu dois définir ce qu est un compact là le mot compact est déjà considéré comme défini dans ta phrase

Effectivement, il faudrait que tu précise ta définition.
Par exemple cette année en PC* on avait comme définition d'un compact "partie fermée, bornée et non vide d'un EVN de dimension finie", et avec cette définition il n'y a pas grand chose à dire pour justifier qu'une boule fermée (en dimension finie) est compacte... Juste montré qu'elle est fermée ce qui est un résultat de cours qui doit se montrer d'au moins 3 ou 4 manières différentes.

Sinon en prenant comme définition la propriété de Borel-Lebesgue c'est assez évident aussi.

En MP je pense qu'on commence par justifier que les compacts sont fermés et bornés et ensuite ce genre de choses tombent tout seul.

Du coup, $ \emptyset $ n'est pas compact avec la définition ci-dessus, pratique.

Ce qui justifie une définition, c'est la concision et la simplicité des théorèmes/propriétés qui se réfèrent à cette défintition. Si on excluait le vide des compacts, il ne serait plus vrai que l'intersection de deux compacts soit un compact. Il ne serait plus vrai non plus que tout fermé inclu dans un compact soit aussi un compact. Il n'y a aucune raison d'exclure le vide dans la définition d'un compact: cela rendrait la définition d'un compact plus longue, de même pour au moins deux propriétés des compacts.

saysws a écrit : ↑

05 août 2018 12:44

Effectivement, il faudrait que tu précise ta définition.
Par exemple cette année en PC* on avait comme définition d'un compact "partie fermée, bornée et non vide d'un EVN de dimension finie", et avec cette définition il n'y a pas grand chose à dire pour justifier qu'une boule fermée (en dimension finie) est compacte... Juste montré qu'elle est fermée ce qui est un résultat de cours qui doit se montrer d'au moins 3 ou 4 manières différentes.

Sinon en prenant comme définition la propriété de Borel-Lebesgue c'est assez évident aussi.

En MP je pense qu'on commence par justifier que les compacts sont fermés et bornés et ensuite ce genre de choses tombent tout seul.

C'est vraiment évident avec Borel-Lebesgue ? (Ou alors tu utilises aussi Bolzano-Weierstrass j'imagine et là ça va, quoique pas vraiment "évident" non plus je trouve ^^)

Avec Borel-Lebesgue. Pour une boule fermée, on veut commencer par montrer que le produit de compacts est un compact, puis voir la boule fermée comme un fermé inclus dans un produit d'intervalles fermées bornée. Il faut donc montrer que

• Un produit (cartésien) fini de compacts est un compact.
• Tout fermé inclus dans un compact est un compact.

Le premier point est sûrement le plus difficile mais cela se fait sans trop de problème tant que le produit est fini.

Ha mais oui d'accord merci @matmeca

Bah en fait à partir du moment ou la notion de compact est hors programme en PC, chaque professeur peut en donner la définition qu'il veut s'il le veut. Les seules choses que l"on a au programme de PC c'est "en dimension finis l'image d'un fermé borné par une application continue est un fermé borné" et surtout "une application continue d'une partie non vide, compact bornée et non vide d'un EVN de dimension finis dans R est bornée et ses bornes sont atteintes".
Le terme compact sert juste à éviter de se trimbaler "fermé et borné" tout le temps. Et vu qu'on utilise surtout le 2ème énoncé, autant mettre "non vide" dans la définition de compact histoire d'être sûr que personne ne dise jamais par erreur que les bornes de l'ensemble vide existent et sont atteintes

Je suis tout à fait d'accord sur le fait que ce n'est pas une vrai définition d'un compact hein, c'était juste pour l'exemple

Edit : autant pour moi, j'ai eu un doute, donc j'ai vérifié, on avait pas mit "non vide" dans notre définition de compact
Mais ça n'aurait rien changé car à chaque fois qu'on a utilisé la notion il fallait qu'il soit non vide (d'où mon erreur).