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Salut. Mon amis qui a passé les concours cet année a eu cet exercice a l'orale (mines) :
Soit E un R espace vectorielle et u une application linéaire qui vérifie u^3=Identité . Décrire les sous espace stable par u .
j'ai pas peu résoudre cet exercice et je demande votre aide .
( j 'ai montre que si F est stable par u alors si on pose
F1 = F ∩ Ker(u − Id)
et
F2 = F ∩ Ker(u^2+u+Id)
alors F =F1+F2 puis je bloque )
Merci.

ahmedata10 a écrit : ↑

18 août 2018 17:49

Salut. Mon amis qui a passé les concours cet année a eu cet exercice a l'orale (mines) :
Soit E un R espace vectorielle et u une application linéaire qui vérifie u^3=Identité . Décrire les sous espace stable par u .
j'ai pas peu résoudre cet exercice et je demande votre aide .
( j 'ai montre que si F est stable par u alors si on pose
F1 = F ∩ Ker(u − Id)
et
F2 = F ∩ Ker(u^2+u+Id)
alors F =F1+F2 puis je bloque )
Merci.

Déjà il faut penser que u est diagonalisable
En fait si F est un espace stable et si on note v l'application u restreinte et corestreinte à F, alors v^3=id et v est donc aussi diagonalisable. Les espaces stables de dimension 0 et 3 sont évidents. Pour la dimension 1 et 2 on s en sort en étudiant les valeurs propres

Hello Nabuco,

peux-tu expliquer pourquoi $ u $ doit être diagonalisable (dans le plan euclidien, la rotation d'angle $ 2\pi/3 $ n'est pas diagonalisable) et pourquoi les sous-espaces stables de dimension 3 sont évidents (il n'est fait aucune mention de la dimension dans l'énoncé) ?

kakille a écrit : ↑

20 août 2018 18:20

Hello Nabuco,

peux-tu expliquer pourquoi $ u $ doit être diagonalisable (dans le plan euclidien, la rotation d'angle $ 2\pi/3 $ n'est pas diagonalisable) et pourquoi les sous-espaces stables de dimension 3 sont évidents (il n'est fait aucune mention de la dimension dans l'énoncé) ?

C diagonalisable

Par contre désolé pour la dimension je n avais pas vu. En fait si on prend F un espace stable u restreint à F est C semblable à une matrice diagonale avec des 1 puis des blocs diagonaux 2*2 avec j et j^2. La matrice B=
0 1
-1 -1
Est C semblable au bloc diagonal précédent. Donc La matrice de u restreinte à F estC semblable à une matrice diagonale par bloc avec des 1 puis des blocs de la forme de B. Elle est donc R semblable à la même matrice. Donc F est somme de vecteurs propres associés à 1 et de plande la forme vect(a,b) avec a et b libres et u(a)=-b et u(b)=a-b. Réciproquement ces espaces sont stables

Hello Nabuco,

toujours ce problème de dimension : l'espace peut être de dimension non finie.

kakille a écrit : ↑

21 août 2018 14:41

Hello Nabuco,

toujours ce problème de dimension : l'espace peut être de dimension non finie.

J ai du mal à croire que l exo ne soit pas en dimension finie, surtout aux mines. Je pense que cette hypothèse manque à l énoncé, sinon l énoncé ne doit pas être faisable (au moins niveau prépa).

Nabuco a écrit : ↑

21 août 2018 14:49

kakille a écrit : ↑

21 août 2018 14:41

Hello Nabuco,

toujours ce problème de dimension : l'espace peut être de dimension non finie.

J ai du mal à croire que l exo ne soit pas en dimension finie, surtout aux mines. Je pense que cette hypothèse manque à l énoncé, sinon l énoncé ne doit pas être faisable (au moins niveau prépa).

desole il est de dimension finie

Nabuco a écrit : ↑

21 août 2018 14:49

kakille a écrit : ↑

21 août 2018 14:41

Hello Nabuco,

toujours ce problème de dimension : l'espace peut être de dimension non finie.

J ai du mal à croire que l exo ne soit pas en dimension finie, surtout aux mines. Je pense que cette hypothèse manque à l énoncé, sinon l énoncé ne doit pas être faisable (au moins niveau prépa).

Merci

Hello Nabuco,

dis-tu que l'on peut trouver quatre réels $ a,b,c,d $ tels que la matrice $ P:=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} $ soit inversible et tels que $ \begin{pmatrix} j & 0 \\ 0 & j^2\end{pmatrix} P=P\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix} $ ?