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exercice d'entrainement
Publié : 28 août 2018 10:56
par Léo de Nohr
Bonjour,
Voici un exercice que j'aimerai résoudre pour me mettre dans le bain pour la rentrée
Soient $ a,b \in \mathbb{R}, a \le b $.
Soit $ f \in C^0([a,b], \mathbb{R}), \forall x \in [a,b], f(a + b - x) = f(x) $.
Montrer que $ \int^b_a t f(t) dt = \frac{a+b}{2} \int^b_a f(t) dt $.
Je peux faire une analogie avec les fonctions paires, en effet : $ \forall x \in [a,b], f(a + b - x) = f(x) $ revient à dire que $ f $ est "paire" sur $ [a, b] $ centré en $ \frac{a+b}{2} $, mais je vois pas comment m'en sortir après...
Des idées ?
Merci d'avance
Re: exercice d'entrainement
Publié : 28 août 2018 11:27
par Zrun
Un changement de variable bien choisit ...
Re: exercice d'entrainement
Publié : 28 août 2018 11:30
par zede
Léo de Nohr a écrit : ↑28 août 2018 10:56
Bonjour,
Voici un exercice que j'aimerai résoudre pour me mettre dans le bain pour la rentrée
Soient $ a,b \in \mathbb{R}, a \le b $.
Soit $ f \in C^0([a,b], \mathbb{R}), \forall x \in [a,b], f(a + b - x) = f(x) $.
Montrer que $ \int^a_b t f(t) dt = \frac{a+b}{2} \int^a_b f(t) dt $.
Je peux faire une analogie avec les fonctions paires, en effet : $ \forall x \in [a,b], f(a + b - x) = f(x) $ revient à dire que $ f $ est "paire" sur $ [a, b] $ centré en $ \frac{a+b}{2} $, mais je vois pas comment m'en sortir après...
Des idées ?
Merci d'avance
Une piste:
le changement de variable: x = a + b - t.
(au passage, attention à ton signe pour dx)
Bon courage.
edit: désolé pour le doublon avec la suggestion de Zrun. J'en profite pour mettre la balise spoiler.
edit de l'edit: suppression des balises spoiler (qui ne fonctionnent pas :/)
Re: exercice d'entrainement
Publié : 28 août 2018 12:29
par Léo de Nohr
Bah j'ai pensé à ce changement de variable, mais je tourne en rond. J'ai toujours un $ \int_a^b xf(x)dx $ qui traîne dans le tas :/
Re: exercice d'entrainement
Publié : 28 août 2018 12:59
par zede
A mon avis, tu fais une erreur de signe.
Quand tu écris le changement de variables: x = a + b - x, que peux-tu dire de dt par rapport à dx ?
Re: exercice d'entrainement
Publié : 28 août 2018 22:14
par Zrun
Et bien il n’y a pas de problème ... Ne sait-tu pas résoudre une équation du style x=y-x (avec y connu et x inconnu) ? C’est pareil ici
Re: exercice d'entrainement
Publié : 29 août 2018 01:17
par Léo de Nohr
Ah oui... certes.. Je suis fatigué, moi... c'est triste, juste avant la rentrée...
Bon bah on va aller dormir un peu ^^"
Merci