DM Flitre et ensemble

[Nefi]

L'exercice de mon DM porte sur une nouvelle notion le filtre, j'ai bloqué à toute les questions sauf là 2 qui est très facile



Pouvez vous me donnez des indices pour m'aider à la résolution du DM svp ? (Enfin d'abord du 1 et si je n'arrive pas à faire d'autre question je reviendrais ici )

Pour le 1, je pense qu'il faut utiliser l'axiome 3 , en remplaçant B par l'ensemble E, mais le problème c'est que dans ce cas, rien ne prouve que A est inclus dans E, on aura juste supposé que A appartient à P(E), ça n'implique pas l'inclusion de A dans E

[GaBuZoMeu]

Pour résoudre la question 1, n'oublie pas que tout filtre $ \mathcal F $ est non vide.

Tiens, le message a été modifié pendant que je répondais.

on aura juste supposé que A appartient à P(E), ça n'implique pas l'inclusion de A dans E

Euh ... C'est quoi, la définition de P(E) ?

[Nefi]

P(E) c'est la collection des sous partie de E, donc E est inclus dans P(E) , mais si au début on suppose un A quelconque appartenant à P(E) ça n'implique pas que A est inclus dans E on est d'accord ?

Par exemple : Si E = { a ; b } alors P(E) = { {0} ; {a} ; {b} ; {a ;b} } si on prends un A quelconque appartenant à P(E) .... Ok je viens de comprendre ce que tu comptais m'expliquer xD, du coup j'ai ma réponse pour la 1, merci !

Bon je retourne sur ce DM, si je bloque trop par la suite je reposerais une autre question sur ce topic !

[GaBuZoMeu]

P(E) c'est la collection des sous partie de E, donc E est inclus dans P(E)

1°) P(E) c'est l'ensemble des parties de E, ou l'ensemble des sous-ensembles de E. Mais "sous partie" ne veut pas dire grand chose.

2°) Non, E n'est pas inclus dans P(E). E appartient à P(E).

[Nefi]

En fait je voulais pas réutiliser le terme d'ensemble, parce que " ensemble des sous ensembles " cela fait trop répétitif selon mon professeur, mais si le vocabulaire propre est ensemble des sous-ensembles je retiens ça alors

Oui j'ai tendance à m'embrouiller l'esprit avec inclus et appartient, quand est-ce qu'on utilise l'un ou l'autre, quelle est la différence entre ces deux notations ?

Edit : Quand il est écrit " E un ensemble non vide " est-ce que cela veut dire que l'ensemble vide n'appartient pas à E ? Car si c'est oui, cela veut dire que A appartient à P(E) n'implique pas A inclus dans E, car A peut être l'ensemble vide ( vu que l'ensemble vide appartient à P(E) )

[LaCompagnieDuPâté]

$ A \in E $ signifie que $ A $ est l'un des éléments de $ E $. Le symbole $ \in $ se prononce "appartient à".
$ B \subset E $ signifie que pour tout $ A \in B $, on a $ A \in E $. Le symbole $ \subset $ se prononce "est inclus dans".

Par exemple :
$ a \in \{a\} $ est vrai, car $ a $ est un des éléments de l'ensemble $ \{a\} $ (et en fait c'est son seul élément).

$ \{a\} \in \{a\} $ est faux. En effet, le seul élément de l'ensemble de droite est $ a $. Ce qu'il y a à gauche, $ \{a\} $, est différent de $ a $ donc n'est pas un élément de l'ensemble de droite.

Par contre, $ \{a\} \subset \{a\} $ est vrai, puisque tous les éléments de l'ensemble de gauche (il n'y en a qu'un : $ a $) appartiennent à l'ensemble de droite : $ a \in \{a\} $.

[GaBuZoMeu]

Edit : Quand il est écrit " E un ensemble non vide " est-ce que cela veut dire que l'ensemble vide n'appartient pas à E ? Car si c'est oui, cela veut dire que A appartient à P(E) n'implique pas A inclus dans E, car A peut être l'ensemble vide ( vu que l'ensemble vide appartient à P(E) )

Confusion complète !
E ensemble non vide veut dire que E a au moins un élément. L'ensemble vide est l'ensemble qui n'a aucun élément.
Si l'ensemble vide appartient à E, alors E est non vide puisqu'il a au moins un élément : l'ensemble vide.
Pour tout ensemble E, l'ensemble vide appartient à P(E). En effet, l'ensemble vide est inclus dans n'importe quel ensemble E : si tu n'es pas d'accord, trouve moi un élément de l'ensemble vide qui n'appartient pas à E !

[Nefi]

Merci beaucoup je comprends mieux !

J'ai pu avancé jusqu'à la 4 , maintenant je bloque à la 5)b) , une nouvelle fois je n'ai aucune idée de comment cela peut être résolu J'ai mal compris le raisonnement par l'absurde.


EDIT : J'avais mis 5)a et 5)b , mais je m'en suis sortis pour la 5)a par contre je bloque toujours pour la 5)b)

[Nabuco]

Merci beaucoup je comprends mieux !

J'ai pu avancé jusqu'à la 4 , maintenant je bloque à la 5)b) , une nouvelle fois je n'ai aucune idée de comment cela peut être résolu J'ai mal compris le raisonnement par l'absurde.


EDIT : J'avais mis 5)a et 5)b , mais je m'en suis sortis pour la 5)a par contre je bloque toujours pour la 5)b)

Pour un raisonnement par l absurde suppose que Fx est maximal et X n est pzs un singleton. Il faut ensuite montrer que Fx n est pas maximal en trouvant un filtre plus grand. (ça me semble plus adapté à une contraposee qu à un raisonnement par l absurde)