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Je suis tombé en TD (et dans le Cassini) sur un petit exercice sympathique :
Soit $ u_0 \in \mathbb{R}_+^* $. $ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n} $. Déterminer un équivalent de la suite u.

Voilà une remarque, pour laquelle je n'ai pu trouver de bibliographie :

On montre aisément que $ u_{n+1} - u_n = o(1) $, ce qui justifie de poser $ du = u_{n+1} - u_n $ (au sens où on a bien la forme d'une différentielle, avec h=1 comme variation). On obtient ainsi, en considérant formellement u comme une fonction d'une variable t, $ du = \dfrac{1}{u} $ donc $ udu = 1 $ et ainsi $ u(t) = 2\sqrt{t} $. Alors si t=n, $ u_n = 2\sqrt{n} $, ce qui est véritablement l'équivalent que l'on trouve quand on fait les choses correctement (il faut bien sûr considérer $ n \to +\infty $).
Il ne me semble pas que ce soit un cas isolé. Qu'en pensez-vous ? Quelle justification pourrait-on donner à cette proposition ? Quels objets construire ? Pour quelle classe de suites cette démarche fonctionne-t-elle ?

L'itération est donnée par la méthode d'Euler explicite pour résoudre numériquement l'EDO $ u'=1/u $.

On peut utiliser les théorèmes de convergences des méthodes de résolutions numériques des EDO (Cauchy 1824) ou adapter leur preuves. Ce qui implique de savoir utiliser le lemme de Grönwall. Ni ce théorème, ni le le lemme de Grönwall ne sont au programme de prépa.

Pour en revenir à des choses un peu plus proches de la prépa, ce genre d'analogies entre suites et fonctions est très intéressant et les comportements des deux objets sont effectivement souvent assez semblables. Elles permettent d'avoir une très bonne idée du comportement d'une suite (ou dans l'autre sens d'une fonction) mais effectivement en prépa rien ne permet à l'analogie de servir de preuve, en dehors de l'utilisation des théorèmes de comparaisons séries intégrale (qui sont au programme).
Par contre, l'analogie peut donner une idée de comment démontrer le résultat recherché, ça permet de trouver souvent les méthodes parachutées. Par exemple ici, comme tu l'exposes on voit vite que la fonction vérifiant l'équation analogue à celle de $ u_n $ est $ f(t)= \sqrt{2t} $ et ça donne l'idée pour étudier $ u_n $de poser $ v_n = \frac{u_n^2 }{2} $, puis $ w_n = v_{n+1} - v_n $ (puisque $ f(t)^2 = 2t $ et donc $ (\frac{f(t)^2}{2})' = 1 $). ce que tu parachutes un peu dans le spoiler.

*Cette analogie est un fait bien connu (et enseigné dans certaines classes prépas visiblement) mais qui apparaît évidemment dans des travaux de recherche liés à l'analyse taubérienne quantitative (Méthode de Kloosterman - cf le livre de J. Korevaar : One century of Tauberian analysis pour plus de détails)...

L'heurisitique est la suivante si on cherche $u_{n}\sim f(n)$ avec $f$ régulière, à croissance modérée alors, on peut considérer que $u_{n+1}-u_{n}\sim f'(n).$ Ceci permet de trouver les transformations sur les suites (et est souvent très bonne lorsque la suite est monotone) en appliquant ensuite la sommation des relations d'équivalents.

**Exemple : On considère : $$u_{0}>0 \mbox{ et } \displaystyle \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{\ln(u_{n})}.$$
Alors par le baratin routinier, on a $(u_{n})_{n\geq 0}$ est bien définie, croissante et tend vers $+\infty.$
Avec l'heuristique précédente, on est amené à considérer l'équation différentielle suivante : $\displaystyle y'=\frac{1}{ln(y)}$ i.e. $\displaystyle y'\ln(y)=(ylny-y)'=1.$
Ainsi, la bonne transformation sur la suite est de considérer $\displaystyle u_{n+1}\ln(u_{n+1})-u_{n}\ln(u_{n})$ qui est la dérivée discrète de $y\ln(y)$ (le terme dominant si $y$ tend vers $+\infty$). Il ne reste plus qu'à faire les calculs pour obtenir un équivalent de $u_{n}.$

**Enfin, il y a des variantes autour de cette méthode pour des gammes d'exos plus difficiles (ci-joint) avec estimations à priori et inégalités "auto-améliorantes".

Soit $\alpha,\beta>0.$ Donner un équivalent de la suite $u$ définie par
$u_{0}>0 \mbox{ et } \forall n\in\mathbb{N}, \mbox{ } \displaystyle u_{n+1}=u_{n}+\frac{n^{\alpha}}{u_{n}^{\beta}}.$

Et, soit $\alpha\in ]0,1].$ Donner un équivalent de la suite définie par
$u_{0}>0 \mbox{ et } \forall n\in \mathbb{N}, \mbox{ } \displaystyle u_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{S_{k}^{\alpha}},$ où $\displaystyle S_{k}=\sum_{l=0}^{k}u_{l}.$

Merci pour vos réponses,

- matmeca_mcf1 :

Je n'ai pas encore commencé les équations différentielles de spé donc ça doit sûrement être trop difficile pour l'instant pour moi mais je regarderai ça quand j'aurai le temps.

- 789 :

C'était bien l'idée de départ, j'avais toujours cette impression face à une relation de ce genre : "Tiens, ça c'est un ln " et en écrivant l'ED équivalente je me suis rendu compte que mon intuition venait en fait de l'analogie fonction-suite. Ce sont quelques exercices du Cassini analyse 1 qui m'ont orienté vers cette question. En somme, l'analogie permet d'orienter la recherche de la solution mais je trouvais étrange qu'une technique simple (c'est quand même très intuitif) n'ait pas fait l'objet d'une véritable étude théorique et je cherchais donc de la biblio sur "Mais pourquoi ça marche en fait ?"

- BobbyJoe :

En effet, c'est bien l'heuristique que j'avais développé dans mon coin. Ça ne vient pas de mon prof en fait, on a pas tellement abordé l'exercice en classe ; ce dernier, cherchant s'il était possible de formaliser la technique, c'est à dire comment résoudre asymptotiquement une équation discrète comme une équation différentielle, m'a indiqué que ça risquait de devenir très, très dur.

Merci pour la référence, est-ce (relativement) accessible ?

Je dirais plutôt traite le premier exemple. Puis, essaie de faire les exos laissés en suspens...
Tu peux également chercher l'exercice suivant :
Soit $(u_{k})_{k\geq 0}$ une suite positive et tendant vers $0.$ On suppose que la suite $(S_{n}-nu_{n})_{n\geq 0}$ est bornée. Montrer que $(S_{n})_{n\geq 0}$ converge.

J'ai entamé le premier exo, il me reste à montrer que $ \dfrac{n^\alpha}{u_n^{\beta+1}} \to 0 $ et c'est plié

Merci pour tes exercices.

Enfin, oui la référence est accessible (certains passages dans le livre également) mais l'ouvrage est dans l'ensemble assez inaccessible aux élèves de classes préparatoires (il faut un certain nombre de prérequis en analyse : Analyse fonctionnelle avancée, Analyse complexe, Transformée de Fourier/Laplace et Intégration au sens de Lebesgue)... Donc, je dirais : ne perds pas de temps à lire ce bouquin en prépa...
Bonne chance!