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Application

Publié : 24 janv. 2019 22:27
par tsukiyumio
Bonsoir,

Soit $ \phi $ une application de classe $ C^2 $ de R dans R, vérifiant pout tout réels t et t' :

$ \phi(\frac{t+t'}{2})\leq\frac{1}{2}(\phi(t)+\phi(t')) $

Question : en étudiant la limite, lorsque h tend vers 0+ de $ \frac{\phi(u+h)+\phi(u-h)-2\phi(u)}{h^2} $, établit que $ \phi' $ est croissante au sens large

Pour ce qui est la limite, puisque phi est dérivable sur R, j'en déduis que la fonction en question doit tendre vers plus infini mais même si c'est le cas, je ne vois pas comment cela peut m'aider pour la deuxième question.

Merci

Re: Application

Publié : 24 janv. 2019 22:34
par Nabuco
tsukiyumio a écrit :
24 janv. 2019 22:27
Bonsoir,

Soit $ \phi $ une application de classe $ C^2 $ de R dans R, vérifiant pout tout réels t et t' :

$ \phi(\frac{t+t'}{2})\leq\frac{1}{2}(\phi(t)+\phi(t')) $

Question : en étudiant la limite, lorsque h tend vers 0+ de $ \frac{\phi(u+h)+\phi(u-h)-2\phi(u)}{h^2} $, établit que $ \phi' $ est croissante au sens large

Pour ce qui est la limite, puisque phi est dérivable sur R, j'en déduis que la fonction en question doit tendre vers plus infini mais même si c'est le cas, je ne vois pas comment cela peut m'aider pour la deuxième question.

Merci
Par l'inégalité donnée tu peux contrôler le signe de la quantité que tu veux évaluer. Comme phi est C2 tu peux facilement via DL obtenir la limtie de la quantité, et donc en déduire que phi' est croissante.

Aussi l'énoncé (montrer que phi est convexe je présume) reste vrai en supposant uniquement phi C0 mais c'est plus technique.