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Bonsoir,

Dans un sujet d'X, on a introduit pas mal d'endomorphismes de fonctions de classes C(infini) et on veut montrer une égalité, j'ai eu un peu de mal à savoir si je rédige bien les choses donc j'expose ce que j'ai fait :

Pour toute f de classe Cinfini : $ (Xf)(x)=xf(x) $ , $ (Df)(x)=f'(x) $
On veut montrer que pour tout n dans N $ D^{n}X=XD^{n}+nD^{n-1} $
On procède alors par récurrence : pour n=1 j'ai écrit : $ (DX)(f)(x)=D(XF)(x)=D(xf)(x)=f(x)+xf'(x) $ et $ (XD)(f)(x)=X(Df)(x)=(Xf')(x)=xf'(x) $
D'où l'égalité! Mes questions sont: est-ce qu'on doit obligatoirement passer par la considération d'une fonction f au départ ? Car apparemment dans le corrigé souvent ils disent que la preuve pour n=1 est évidente alors qu'elle est subtile ... Bref, ma deuxième question est : est-ce que l'écriture de $ D(xf)(x) $ est correcte ?

Merci

La trivialité ça dépend des points de vue...
Pour la deuxième question, non c'est ARCHI FAUX ! (ou du moins tu devrais redéfinir certaines choses...)
$ D $ est un endomorphisme qui s'applique sur une fonction, sauf que $ xf $ c'est pas une fonction. La fonction c'est $ x\longmapsto xf(x) $ qu'on nomme justement $ Xf $ pour pouvoir étudier son image par $ D $.
Du coup ton initialisation n'est pas rédigée correctement, il faut enlever l'étape $ D(xf)(x) $

Oui si on veut éviter de dire que c'est évident (et ça l'est complètement, que ce soit dans un sujet de l'X ou autre part). Par contre c'est pas la meilleure idée de dire que c'est évident si c'est une des premières questions du sujet ou d'une partie (on dirait que c'est le cas là). Si les corrigés ne détaillent pas c'est parce qu'ils considèrent que c'est très facile par rapport aux autres questions je pense.

Et il faudrait plutôt écrire $ D(x \mapsto xf(x))(x) $.

Oui je crois que la meilleurs façon de rédiger c'est poser la fonction décrite dessus!
Merci beaucoup.

J'écrirais tout simplement
$$\begin{aligned}
D(X(f))(x)&=X(f)'(x)=x\,f'(x)+f(x)\\
X(D(f))(x)&=x\,D(f)(x)=x\,f'(x)
\end{aligned}$$