Bonjour, pouvez-vous m'aider ?
Soit E un espace euclidien. Soit (a1,a2,...,ap) un simplexe de E ( c-a-d un ensemble où la distance entre 2 points est la même). On note g le point barycentre de ce simplexe
Montrer que (g-a0) est orthogonal à Vect(a2-a1,a3-a1,.....ap-1)
J'ai fait le problème mais est-ce qu'il y a une façon de faire l'exo de manière rigoureuse ? c-a-d ne pas recourir aux représentations géométriques
Merci
Espace euclidien
Re: Espace euclidien
a0 n est pas défini ici. le dernier terme du Vect est ap -a1 ou ap-1 ?
Re: Espace euclidien
ça me rappelle une épreuve de mines ça
Re: Espace euclidien
J'imagine que (a_0,...,a_p) est un simplexe et qu'on parle de l'isobarycentre de a_0,...,a_p et enfin de Vect(a_2-a_1,...,a_p-a_1) ?
Dernière modification par Luckyos le 27 févr. 2019 12:01, modifié 1 fois.
X2018
Re: Espace euclidien
Mais du coup je ne comprends pas du tout pourquoi cet exercice est vrai, ou alors il faudrait préciser la définition de simplexe, parce que j'ai fait quelques calculs qui doivent être faux vus qu'ils sont en désaccord total avec l'énoncé... Quelqu'un a-t-il une piste ?
Re: Espace euclidien
Par exemple pour p=2, géométriquement, on veut montrer que dans un triangle équilatéral, la droite qui passe par l'isobarycentre et un sommet est perpendiculaire au côté opposé au sommet.
Pour p=3 c'est un tétraèdre régulier et la droite est perpendiculaire au plan contenant le triangle opposé au sommet.
Pour p=3 c'est un tétraèdre régulier et la droite est perpendiculaire au plan contenant le triangle opposé au sommet.
X2018
Re: Espace euclidien
Ah ok merci j'avais mal compris l'énoncé ! J'avais pas compris que le "les points à même distance deux à deux" ça voulait dire simplexe régulier.
Re: Espace euclidien
Est-ce que utiliser le fait que $3$ sommets quelconques d'un simplexe régulier forment un triangle équilatéral et utiliser des angles pour calculer les produits scalaires font partie des considérations géométriques non rigoureuses ?
Re: Espace euclidien
Parce que si ça compte quand même pour de la rigueur ne peut-on pas juste dire :
On prend le repère formé par les sommets du simplexe :
$a_0=(0,0,...,0)$, $a_1=(1,0,...,0)$, $a_2=(0,1,0,...,0)$, ..., $a_p=(0,0,...,0)$
Le barycentre $g$ de ces $p+1$ points a pour coordonnées $(\frac{1}{p+1},\frac{1}{p+1},\dots,\frac{1}{p+1})$
Ainsi le vecteur $(g-a_0)$ a pour coordonnées $(\frac{1}{p+1},\dots,\frac{1}{p+1})$
De plus pour tout entier $i$ compris entre $2$ et $p$ on a $(g-a_i)$ qui a pour coordonnées $(-1,0,\dots,0,1,0,\dots,0)$, le "1" étant situé au niveau de la $i$-ième coordonnée.
Ainsi si on regarde un vecteur $\overrightarrow{v}$ de $\mathrm{Vect}(a_2-a_1,\dots,a_p-a_1)$ tel que $\overrightarrow{v}=\sum \limits _{i=2} ^p \lambda_i(a_i-a_1)$ on a alors $\overrightarrow{v}=(-\sum \limits _{i=2} ^p \lambda_i, \lambda_2, \lambda_3, \dots, \lambda_n)$
Or dans un evn de dim finie si $\overrightarrow{x}$ et $\overrightarrow{y}$ en sont deux vecteurs de coordonnées respectives $(x_1,\dots,x_n)$ et $(y_1,\dots,y_n)$ dans une base $(\overrightarrow{e_1},\dots,\overrightarrow{e_n})$ orthonormé on a $\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=\sum \limits _{i=1} ^n x_iy_i\overrightarrow{e_i}+\sum \limits _{\underset{i \ne j}{1 \le i,j \le n}}x_iy_j\overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}$
Et on obtient donc $\overrightarrow{v}\cdot(g-a_0)=\frac{1}{p+1}(-\sum \limits_{i=2} ^p \lambda_i + \sum \limits_{i=2} ^p \lambda_i)+\frac{\cos(\frac{\pi}{3})}{p+1}(-\sum \limits_{i=2} ^p \lambda_i + \sum \limits_{i=2} ^p \lambda_i)=0$ le $\cos(\frac{\pi}{3})$ sortant du fait que $3$ sommets quelconques d'un simplexe régulier forment un triangle équilatéral donc on a bien orthogonalité.
On prend le repère formé par les sommets du simplexe :
$a_0=(0,0,...,0)$, $a_1=(1,0,...,0)$, $a_2=(0,1,0,...,0)$, ..., $a_p=(0,0,...,0)$
Le barycentre $g$ de ces $p+1$ points a pour coordonnées $(\frac{1}{p+1},\frac{1}{p+1},\dots,\frac{1}{p+1})$
Ainsi le vecteur $(g-a_0)$ a pour coordonnées $(\frac{1}{p+1},\dots,\frac{1}{p+1})$
De plus pour tout entier $i$ compris entre $2$ et $p$ on a $(g-a_i)$ qui a pour coordonnées $(-1,0,\dots,0,1,0,\dots,0)$, le "1" étant situé au niveau de la $i$-ième coordonnée.
Ainsi si on regarde un vecteur $\overrightarrow{v}$ de $\mathrm{Vect}(a_2-a_1,\dots,a_p-a_1)$ tel que $\overrightarrow{v}=\sum \limits _{i=2} ^p \lambda_i(a_i-a_1)$ on a alors $\overrightarrow{v}=(-\sum \limits _{i=2} ^p \lambda_i, \lambda_2, \lambda_3, \dots, \lambda_n)$
Or dans un evn de dim finie si $\overrightarrow{x}$ et $\overrightarrow{y}$ en sont deux vecteurs de coordonnées respectives $(x_1,\dots,x_n)$ et $(y_1,\dots,y_n)$ dans une base $(\overrightarrow{e_1},\dots,\overrightarrow{e_n})$ orthonormé on a $\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=\sum \limits _{i=1} ^n x_iy_i\overrightarrow{e_i}+\sum \limits _{\underset{i \ne j}{1 \le i,j \le n}}x_iy_j\overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}$
Et on obtient donc $\overrightarrow{v}\cdot(g-a_0)=\frac{1}{p+1}(-\sum \limits_{i=2} ^p \lambda_i + \sum \limits_{i=2} ^p \lambda_i)+\frac{\cos(\frac{\pi}{3})}{p+1}(-\sum \limits_{i=2} ^p \lambda_i + \sum \limits_{i=2} ^p \lambda_i)=0$ le $\cos(\frac{\pi}{3})$ sortant du fait que $3$ sommets quelconques d'un simplexe régulier forment un triangle équilatéral donc on a bien orthogonalité.