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Salut à tous !
$ $
Soit $f_{n}$ converge uniformément vers $f$ sur tout les compacts de $C$.
Soit $D$ un disque inclu dans $C$ et $\partial D$ son bord.
J'aimerais montrer que $\inf_{\partial D} |f_{n}|$ converge vers $\inf_{\partial D} |f|$

Par un jeu d'inégalité j'ai juste $\inf_{\partial D} ||f_{n}| - |f| |$ qui tend vers $0$. Mais je pense qu'on peut avoir le résultat souhaité.

Comment feriez vous s'il vous plaît ?

up

Montrez que
$$
\inf f_n-\inf f\leq \sup\lvert f_n-f\rvert
$$

Exactement, c'est justement ce que je n'ai pas réussi à faire.

Soit $ A $ un ensemble non vide. Soit $ f\colon A\to\mathbb{R} $ et $ g\colon A\to\mathbb{R} $. On va supposer $ f $ et $ g $ minorées. On va aussi supposer $ f-g $ bornée.

On veut montrer que
$$
\inf f-\inf g\leq \sup\lvert f-g\rvert
$$
Pour cela, on veut montrer
$$
\inf f -\sup\lvert f-g\rvert \leq \inf g
$$
Donc, par définition de la borne inférieur comme le plus grand minorant, cela est équivalent à montrer que pour tout $ x $ appartenant à $ A $
$$
\inf f -\sup\lvert f-g\rvert \leq g(x)
$$

Je vous laisse montrer que cette dernière inégalité est vraie pour tout $ x $ dans $ A $.