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Von_ a écrit : ↑

13 avr. 2019 18:24

Bonjour,

Pour la question 2)-a de l'épreuve X maths B de l'an dernier, on doit montrer que l'inf de $ \left\{ L(P), P\in A_N\right\} $ avec $ L(P)=\int_{-1}^{1}P(x)dx $ où $ A_N =\left\{ P/ P(1)=P(-1)=1, P(x)\geq 0, \forall x\in[-1,1]\right\} $.$ \left \| P \right \|_1=\int_{-1}^{1}\left | P(x) \right |dx $ $ A_N $ est fermé car $ . A_N=f^{-1}(\left\{ {1,1}\right\} )\bigcap(\bigcap_{x\in [-1,1]}g^{-1}_x([0,\infty [)) $ où $ f:P\rightarrow (P(1),P(-1)) $ et $ g:P\rightarrow P(x) $ mais il n'est pas borné. Pour contourner cela, j'ai posé $ K=A_N\cap B(0,\left \| 1 \right \|_1) $ car $ 1 \in A_N $, K est compact et donc le min est atteint dans K. Après faut montrer que $ inf _{P\in K} L(P)=inf _{P\in A_N} L(P) $.Donc, pour tout $ P\in A_N $, si $ P \in B(0,\left \| 1 \right \|_1) $ alors $ L(P)\geq inf _{P\in A_N} L(P) $ et sinon, je ne vois pas comment conclure ... J'ai $ \left \| P \right \|_1>1 $ mais je vois pas comment passer à L(P) ...
J'aimerais savoir si c'est correct ce que j'ai fait , et s'il y a d'autres méthodes pour résoudre la question.
Merci

noro a écrit : ↑

13 avr. 2019 18:51

Von_ a écrit : ↑

13 avr. 2019 18:24

Bonjour,

Pour la question 2)-a de l'épreuve X maths B de l'an dernier, on doit montrer que l'inf de $ \left\{ L(P), P\in A_N\right\} $ avec $ L(P)=\int_{-1}^{1}P(x)dx $ où $ A_N =\left\{ P/ P(1)=P(-1)=1, P(x)\geq 0, \forall x\in[-1,1]\right\} $.$ \left \| P \right \|_1=\int_{-1}^{1}\left | P(x) \right |dx $ $ A_N $ est fermé car $ . A_N=f^{-1}(\left\{ {1,1}\right\} )\bigcap(\bigcap_{x\in [-1,1]}g^{-1}_x([0,\infty [)) $ où $ f:P\rightarrow (P(1),P(-1)) $ et $ g:P\rightarrow P(x) $ mais il n'est pas borné. Pour contourner cela, j'ai posé $ K=A_N\cap B(0,\left \| 1 \right \|_1) $ car $ 1 \in A_N $, K est compact et donc le min est atteint dans K. Après faut montrer que $ inf _{P\in K} L(P)=inf _{P\in A_N} L(P) $.Donc, pour tout $ P\in A_N $, si $ P \in B(0,\left \| 1 \right \|_1) $ alors $ L(P)\geq inf _{P\in A_N} L(P) $ et sinon, je ne vois pas comment conclure ... J'ai $ \left \| P \right \|_1>1 $ mais je vois pas comment passer à L(P) ...
J'aimerais savoir si c'est correct ce que j'ai fait , et s'il y a d'autres méthodes pour résoudre la question.
Merci

Attention les fonctions $ f $ et $ g_x $ ne sont pas continues pour cette norme.
Par exemple si $ P_n=\left(\frac{1+X}{2}\right)^n + \left(\frac{1-X}{2}\right)^n $ alors $ ||P_n||\rightarrow 0 $ mais $ f(P_n)=(1,1) $.
Pour prouver que $ A_N $ est fermé il faut s'y prendre autrement, par exemple en considérant les fonctions $ g_{x,x'}(P) = \int_{x}^{x'}P(t)dt $ qui elles sont bien continues et $ h^-_{e}(P) = \frac{1}{e}\times\int_{-1}^{-1+e}P(t)dt $ et $ h^+_{e}(P) = \frac{1}{e}\times\int_{1-e}^{1}P(t)dt $.

789 a écrit : ↑

13 avr. 2019 20:40

Aussi pour conclure tu peux simplement remarquer que $L = \left \| .\right \|_1$ sur $A_N$!

789 a écrit : ↑

13 avr. 2019 20:26

noro a écrit : ↑

13 avr. 2019 18:51

Von_ a écrit : ↑

13 avr. 2019 18:24

Bonjour,

Pour la question 2)-a de l'épreuve X maths B de l'an dernier, on doit montrer que l'inf de $ \left\{ L(P), P\in A_N\right\} $ avec $ L(P)=\int_{-1}^{1}P(x)dx $ où $ A_N =\left\{ P/ P(1)=P(-1)=1, P(x)\geq 0, \forall x\in[-1,1]\right\} $.$ \left \| P \right \|_1=\int_{-1}^{1}\left | P(x) \right |dx $ $ A_N $ est fermé car $ . A_N=f^{-1}(\left\{ {1,1}\right\} )\bigcap(\bigcap_{x\in [-1,1]}g^{-1}_x([0,\infty [)) $ où $ f:P\rightarrow (P(1),P(-1)) $ et $ g:P\rightarrow P(x) $ mais il n'est pas borné. Pour contourner cela, j'ai posé $ K=A_N\cap B(0,\left \| 1 \right \|_1) $ car $ 1 \in A_N $, K est compact et donc le min est atteint dans K. Après faut montrer que $ inf _{P\in K} L(P)=inf _{P\in A_N} L(P) $.Donc, pour tout $ P\in A_N $, si $ P \in B(0,\left \| 1 \right \|_1) $ alors $ L(P)\geq inf _{P\in A_N} L(P) $ et sinon, je ne vois pas comment conclure ... J'ai $ \left \| P \right \|_1>1 $ mais je vois pas comment passer à L(P) ...
J'aimerais savoir si c'est correct ce que j'ai fait , et s'il y a d'autres méthodes pour résoudre la question.
Merci

Attention les fonctions $ f $ et $ g_x $ ne sont pas continues pour cette norme.
Par exemple si $ P_n=\left(\frac{1+X}{2}\right)^n + \left(\frac{1-X}{2}\right)^n $ alors $ ||P_n||\rightarrow 0 $ mais $ f(P_n)=(1,1) $.
Pour prouver que $ A_N $ est fermé il faut s'y prendre autrement, par exemple en considérant les fonctions $ g_{x,x'}(P) = \int_{x}^{x'}P(t)dt $ qui elles sont bien continues et $ h^-_{e}(P) = \frac{1}{e}\times\int_{-1}^{-1+e}P(t)dt $ et $ h^+_{e}(P) = \frac{1}{e}\times\int_{1-e}^{1}P(t)dt $.

On travaille dans $\mathbb{R}_{N} [X]$ donc cette suite de fonctions ne fonctionne pas, d'ailleurs puisque $\mathbb{R}_N$ est de dim finie les fonctions $f$ et $g_x$ sont bien continues ici pour la norme infinie et donc pour la norme de l'énoncé par l'équivalence des normes...