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Bonjour est ce qu'il y a équivalence entre la convergence vers 0 des restes d'une série et la convergence de la série ? Je n'arrive pas à trouver de contre-exemple

Comment définis-tu les restes d'une série divergente ?

Là j'avoue ne pas comprendre où vous voulez en venir.

Je pense qu'il y a équivalence comme on définit les restes de la série par Rn= S-Sn avec S la limite de la série et Sn la somme partielle.

@Onhitgg

La notion de reste d'une série n'est définie (en tout cas dans mes cours) que pour une série convergente.

Comme tu dis, il faut que la série admette une limite S (qui est alors finie) et le reste est Rn = S - Sn.
Si la série n'est pas convergente, alors la limite est infinie donc on ne peut pas parler de Rn = S - S

Corrigez moi si je me trompe.

@Dattier je n'ai pas tout à fait compris la définition que vous proposez :/

Ça me semble logique. Donc c'est une équivalence ?

Onhitgg a écrit : ↑

05 sept. 2019 23:07

Bonjour est ce qu'il y a équivalence entre la convergence vers 0 des restes d'une série et la convergence de la série ? Je n'arrive pas à trouver de contre-exemple

Pour que le reste d’une série existe, il est nécessaire qu’il y ait convergence de la série et automatiquement, la suite des restes tend vers 0.
Ce résultat ne doit pas être considéré comme un critère de convergence.

Dattier a écrit : ↑

06 sept. 2019 00:57

Kindred a écrit : ↑

06 sept. 2019 00:15

@Dattier je n'ai pas tout à fait compris la définition que vous proposez :/

Sans avoir la convergence du reste, on peut très bien avoir convergence de la limite du reste par encadrement.

Prends par exemple $\sum \limits_{k=n}^{N}u_k=\dfrac{(-1)^N}{n}$

Je ne comprends pas ce que vous appelez "reste" et "limite du reste" dans vos deux messages :/

Kindred a écrit : ↑

06 sept. 2019 12:13

reste

Moi non plus, mais je pense que c'est défini dans un dictionnaire de mathématiques :

https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9ri ... onvergente

Je vois.
R,n,k c'est une sorte de "tranche de Cauchy"
Le truc c'est que les restes d'une série (convergente) sont définies justement en faisant varier le paramètre n (et le "k" est déjà à l'infini dans cette définition)