sommes, combinaisons, suites avec intégrale
Publié : 15 sept. 2019 00:04
bonsoir,
je bloque sur plusieurs questions en maths et j'aimerais avoir de l'aide si possible :
1) calculer la somme de k allant de 0 à n de k*(k parmi n). jusque-là, j'ai utilisé la formule p(p parmi k) = n(k-1 parmi n-1) et obtenu n * somme combinaison (k-1 parmi n-1). après, même avoir écrit la formule avec les factorielles ne m'avance pas beaucoup.
le binôme de newton n'a pas l'air très utile ici, même avec des changements d'indices douteux (en posant un nouveau k=k-1, ce qu'on n'a sûrement pas le droit de faire puisqu'on obtiendrait une somme allant d'un nombre négatif à n).
2) calculer la double somme (pour simplifier la compréhension "S"=sigma)
[S allant de i=0 à n] [S de j=0 à n-1] (i+j parmi n)
après avoir fait une permutation, et remplacé par les expressions factorielles, j'obtiens :
somme de k allant de 0 à n de [(k+1)n!]/[(n-k)!k!]
après j'arrive pas à calculer cette somme, ni à la simplifier... j'imagine que n!/k! peut se simplifier ?
et enfin la dernière partie d'un problème :
f(x) = 1/sqrt(1+x^2)
et Un= intégrale de 0 à 1 de x^nf(x)dx pour n dans N
dans la première question il s'agissait d'étudier f(x), la seconde d'étudier F(x)=ln(x+sqrt(1+x^2)) qui bizarrement n'est pas la primitive de f(x)
et la dernière séparée en plusieurs parties pour lesquelles je bloque :
1.1 calculer Uo et U1 puis déterminer le sens de variation de (Un)
1.2 justifier l'encadrement suivant pour x€[O,1] et n€N 0 <= x^n/sqrt(1+x^2) <= x^n
1.3 en déduire que (Un) est convergente et préciser sa limite.
pour ce problème, j'ai juste réussi à calculer U1, en remarquant que la primitive de f(x) était la racine du dénominateur lorsque n=1.
pour le reste, je sais pas trop comment m'y prendre sans avoir de primitive pour calculer l'intégrale et donc déterminer le sens de variation.
j'imagine que ce sens de variation sert pour la 1.2 pour encadrer la fonction à intégrer sur l'intervalle. avec cette question, la 1.3 devient assez aisée puisqu'on aurait la variation de la suite et un encadrement pour montrer qu'elle converge (en jouant avec l'inégalité) et la limite en utilisant les gendarmes. du coup je sais pas trop comment virer cette intégrale.
merci d'avance et désolé pour les écritures je sais pas trop comment faire pour écrire les symboles sur internet, du coup la lecture en est impactée.
je bloque sur plusieurs questions en maths et j'aimerais avoir de l'aide si possible :
1) calculer la somme de k allant de 0 à n de k*(k parmi n). jusque-là, j'ai utilisé la formule p(p parmi k) = n(k-1 parmi n-1) et obtenu n * somme combinaison (k-1 parmi n-1). après, même avoir écrit la formule avec les factorielles ne m'avance pas beaucoup.
le binôme de newton n'a pas l'air très utile ici, même avec des changements d'indices douteux (en posant un nouveau k=k-1, ce qu'on n'a sûrement pas le droit de faire puisqu'on obtiendrait une somme allant d'un nombre négatif à n).
2) calculer la double somme (pour simplifier la compréhension "S"=sigma)
[S allant de i=0 à n] [S de j=0 à n-1] (i+j parmi n)
après avoir fait une permutation, et remplacé par les expressions factorielles, j'obtiens :
somme de k allant de 0 à n de [(k+1)n!]/[(n-k)!k!]
après j'arrive pas à calculer cette somme, ni à la simplifier... j'imagine que n!/k! peut se simplifier ?
et enfin la dernière partie d'un problème :
f(x) = 1/sqrt(1+x^2)
et Un= intégrale de 0 à 1 de x^nf(x)dx pour n dans N
dans la première question il s'agissait d'étudier f(x), la seconde d'étudier F(x)=ln(x+sqrt(1+x^2)) qui bizarrement n'est pas la primitive de f(x)
et la dernière séparée en plusieurs parties pour lesquelles je bloque :
1.1 calculer Uo et U1 puis déterminer le sens de variation de (Un)
1.2 justifier l'encadrement suivant pour x€[O,1] et n€N 0 <= x^n/sqrt(1+x^2) <= x^n
1.3 en déduire que (Un) est convergente et préciser sa limite.
pour ce problème, j'ai juste réussi à calculer U1, en remarquant que la primitive de f(x) était la racine du dénominateur lorsque n=1.
pour le reste, je sais pas trop comment m'y prendre sans avoir de primitive pour calculer l'intégrale et donc déterminer le sens de variation.
j'imagine que ce sens de variation sert pour la 1.2 pour encadrer la fonction à intégrer sur l'intervalle. avec cette question, la 1.3 devient assez aisée puisqu'on aurait la variation de la suite et un encadrement pour montrer qu'elle converge (en jouant avec l'inégalité) et la limite en utilisant les gendarmes. du coup je sais pas trop comment virer cette intégrale.
merci d'avance et désolé pour les écritures je sais pas trop comment faire pour écrire les symboles sur internet, du coup la lecture en est impactée.