analyse mpsi

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
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Message par marc66 » 13 févr. 2020 15:13

Bonjour,
Je dois faire un exercice comportant deux questions. J'ai pu résoudre la première en utilisant la fonction f(x)= (1+x)^alpha-1-alpha*x, en la dérivant deux fois pour trouver son signe.
Néanmoins, je n'arrive pas à résoudre la question suivante. J'ai essayé en utilisant le logarithme népérien mais je n'arrive pas à démontrer l'inégalité proposée:
Démontrer pour tout entier n >=1:
$ \prod_{k=1}^{n}(1+\frac{\alpha }{k})\geq (n+1)^{\alpha } (\alpha \in [0;1] ) $
Si quelqu'un pourrait m'aider en me mettant sur la voie, ce serait très gentil.
Merci pour votre aide.

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Re: analyse mpsi

Message par Inversion » 13 févr. 2020 17:32

Mets le tout à l'exposant sur 1/alpha, utilise la question 1 pour minorer le terme de gauche puis produit télescopique.
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Re: analyse mpsi

Message par Inversion » 13 févr. 2020 17:33

Bon le cas alpha = 0 est à traiter à part mais ça va.
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Re: analyse mpsi

Message par marc66 » 13 févr. 2020 19:10

Merci à vous infiniment, c'est parfait avec le produit télescopique.

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