Exercice d'algèbre linéaire avec le lemme de zorn

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Exercice d'algèbre linéaire avec le lemme de zorn

Message par Cyjik » 24 mai 2020 02:34

Bonsoir,
J'ai des difficultés sur cet exercice:
Soit E un eV montrer que E admet une base. On pourra utiliser sans démonstration le lemme de zorn

J'ai essayé ça mais j'ai l'impression que j'ai fais n'importe quoi pour montrer que G est inductif:
Soit E un eV si E est de dimension finie c'est immédiat
Supposons E de dimension infinie,on peut alors montrer qu'il existe une famille libre infinie(on peut la définir par récurrence assez facilement)
On note G l'ensemble des vect(a) où a sont des familles libres infinies,mq G est inductif:
Il est non vide et clairement ordonnée (?)
Soit H inclus dans G alors l'union des élèments de H est un majorant de H(?? La je crois j'ai fais n'importe quoi),donc d'après le lemme de zorn on peut poser vect(m)=élèment maximale de G,si par l'absurde E différent de vect(m) alors il existe x dans E/vect(m) et vect(mU{x}) est dans G et contredit la maximalité de vect(m) c'est absurde donc E=vect(m).

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Re: Exercice d'algèbre linéaire avec le lemme de zorn

Message par Nabuco » 24 mai 2020 10:12

Quel est l ordre sur G ? Aussi il ne faut pas trouver que tout sous ensemble de G admet un majorant mais sur toute chaîne de G en admet un

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Re: Exercice d'algèbre linéaire avec le lemme de zorn

Message par Cyjik » 24 mai 2020 12:39

G ordonné par inclusion,et oui H une chaine de G j'ai oublié de le préciser.

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Re: Exercice d'algèbre linéaire avec le lemme de zorn

Message par Nabuco » 24 mai 2020 12:48

Maintenant il faut justifier pourquoi l union des éléments de H est bien un espace vectoriel qui admet une base. Le fait que c'est un espace vectoriel me semble assez clair par contre le fait qu il ait une base me semble plus compliqué à prouver (car si H est inclus dans H' il ne semble pas clair que la base de H se prolonge en une base de H').

Essaie plutôt que considérer G l ensemble des familles libres de E muni de l inclusion.

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Re: Exercice d'algèbre linéaire avec le lemme de zorn

Message par Cyjik » 24 mai 2020 13:59

Oui c'est plus facile,merci!

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