Limite en -1 de sin(1+x)ln(|1+x|)

[Mentalink]

Bonjour,
Je bloque sur la résolution de la question suivante :
La fonction $ f $ définie par $ f(x) = sin(1+x)ln(|1+x|) $ est-elle prolongeable par continuité sur $ \mathbb{R} $ ?
Oui, il manque une quantification : il me semble que c'est pour éviter de donner d'emblée le point où ça coince...

J'ai donc montré que $ f $ est continue sur $ \mathbb{R} \setminus\lbrace{-1}\rbrace $ et il me reste à voir si elle est prolongeable par continuité en -1.
Sur une machine, on voit que la limite en -1 de cette fonction est 0.
Pour le montrer, j'ai fait 2 cas en fonction de x :

• $ x > -1 $ : $ sin(1+x)ln(|1+x|) = sin(1+x)ln(1+x) $
  $ sin(x) \sim_{x \rightarrow 0} x $
  $ sin(x)ln(x) \sim_{x \rightarrow 0^+} xln(x) $
  Par le théorème des croissances comparées, $ lim_{x \rightarrow 0} sin(x)ln(x) = 0 $.
  Comme $ lim_{x \rightarrow -1^+} 1+x = 0 $, par composition, $ lim_{x \rightarrow -1^+} sin(1+x)ln(1+x) = 0 $.
• $ x < -1 $ : $ sin(1+x)ln(|1+x|) = sin(1+x)ln(-(1+x)) $
  Et c'est ici que je suis bloqué... J'avais essayé un truc mais je me suis rendu compte que c'était faux.

Pourriez-vous me donner des indications pour continuer ou bien d'autres pistes vers une solution plus simple et plus jolie ? Merci beaucoup.

[prepamath]

Tu peux procéder de la même façon.
Tu dis, en reprenant ta rédaction :
$ \sin(x) \underset{x\rightarrow 0^-}{\sim} x $
$ \sin(x) \ln(-x) \underset{x \rightarrow 0^-}{\rightarrow} x \ln(-x) $
donc par croissances comparées,
$ \sin(x) \ln(-x) \underset{x \rightarrow 0^-}{\rightarrow} 0 $
Comme $ 1+x \underset{x \rightarrow 1^-}{\rightarrow} 0^- $par composition,$ \sin (1+x) \ln(-(1+x)) \underset{x \rightarrow 1^-}{\rightarrow} 0 $

[Hibiscus]

Pourquoi es-tu bloque ?

SPOILER:

Ce que tu fais avec les equivalents est tout a fait correct, pourquoi ne pas continuer ?
Ou, d'une maniere differente, tu peux directement dire que la fonction vaut, (par exemple jusqu'a un ordre trop eleve mais c'est juste pour illustrer)
$ \log(\lvert x + 1\lvert )\left((x + 1) - \frac{1}{6}(x + 1)^3 + O((x + 1)^5)\right) $ autour de -1.

[Mentalink]

Merci beaucoup de vos réponses.

Tu peux procéder de la même façon.
Tu dis, en reprenant ta rédaction :
$ \sin(x) \underset{x\rightarrow 0^-}{\sim} x $
$ \sin(x) \ln(-x) \underset{x \rightarrow 0^-}{\rightarrow} x \ln(-x) $
donc par croissances comparées,
$ \sin(x) \ln(-x) \underset{x \rightarrow 0^-}{\rightarrow} 0 $
Comme $ 1+x \underset{x \rightarrow -1^-}{\rightarrow} 0^- $par composition,$ \sin (1+x) \ln(-(1+x)) \underset{x \rightarrow 1^-}{\rightarrow} 0 $

En refaisant le même raisonnement, je suis bloqué.
En effet : $ 1+x \underset{x \rightarrow --1^-}{\rightarrow} 0^+ $ et non $ 0^- $. On ne peut à partir de là pas faire de composition sur $ \sin(x) \ln(-x) \underset{x \rightarrow 0^-}{\rightarrow} 0 $ à cause du signe de $ 1+x $.

PS : prepamath a laissé se glisser une petite erreur (en gras dans la citation), et c'est là où ça coince.

Pourquoi es-tu bloque ?

Ce que tu fais avec les equivalents est tout a fait correct, pourquoi ne pas continuer ?
Ou, d'une maniere differente, tu peux directement dire que la fonction vaut, (par exemple jusqu'a un ordre trop eleve mais c'est juste pour illustrer)
$ \log(\lvert x + 1\lvert )\left((x + 1) - \frac{1}{6}(x + 1)^3 + O((x + 1)^5)\right) $ autour de -1.

Je ne comprends pas très bien comment un développement limité permet de résoudre l'exercice... Pourriez-vous m'éclaircir ?

[Mentalink]

Pour être plus clair, en résumant :
$ \underset{x \rightarrow 0^+}{lim} sin(x)ln(x) = 0 $

• Comme $ \underset{x \rightarrow -1^+}{lim} (1+x) = 0^+ $, par composition, $ \underset{x \rightarrow -1^+}{lim} sin(1+x)ln(1+x) = 0 $.
  Donc $ \underset{-1^+}{lim} f = 0 $.
• Ici $ \underset{x \rightarrow -1^-}{lim} (1+x) = 0^- $ et donc on ne peut pas faire la composition puisque composer $ ln $ par un nombre négatif n'a aucun sens.

Je crois avoir trouvé la solution : pas besoin de cas ! Il faut conserver la valeur absolue dans le $ ln $.
Comme $ sin(x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x, sin(x)ln(|x|) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} xln(|x|) $.
Par le théorème sur les croissances comparées, $ \underset{x \rightarrow 0}{lim} xln(x) = 0 $ et donc $ \underset{x \rightarrow 0}{lim} sin(x)ln(|x|) = 0 $ (à cause de l'équivalence montrée juste au-dessus).
Comme $ \underset{x \rightarrow -1}{lim} (1+x) = 0 $, par composition, $ \underset{x \rightarrow -1}{lim} sin(1+x)ln(|1+x|) = 0 $.

Je ne suis pas sûr de voir clair et que ceci est juste : j'attends votre confirmation (ou réfutation) avec impatience !
Merci encore.

[JeanN]

Oui, c'est bien.
Par souci de lisibilité, tu pourrais remplacer les x qui tendent vers 0 par une autre lettre (y par exemple).
En gros, une limite, une variable...

[Ali_J]

La chose principale à remarquer est que sin x est équivalent à x au voisinage de 0, et que log x est négligable devant 1/x au voisinage à droite de 0.

[Mentalink]

Merci pour vos réponses.

Oui, c'est bien.
Par souci de lisibilité, tu pourrais remplacer les x qui tendent vers 0 par une autre lettre (y par exemple).
En gros, une limite, une variable...

Voulez-vous dire que je peux remplacer $ \underset{x \to 0}{lim} $ par $ y $ bien que ce ne soit pas les même objets ? Mon professeur de mathématiques n'a jamais fait cela : est-ce très rigoureux ?

[JeanN]

En gros, $\sin(y)\sim y$ quand $y\to 0$.
Or $1+x\to 0$ quand $x\to -1$.
Donc $\sin(1+x)\sim 1+x$ quand $x\to -1$.

[Mentalink]

En gros, $\sin(y)\sim y$ quand $y\to 0$.
Or $1+x\to 0$ quand $x\to -1$.
Donc $\sin(1+x)\sim 1+x$ quand $x\to -1$.

Ah oui je vois, c'est vrai que c'est plus clair.
Merci encore et bonne journée.