Système non linéaire

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Système non linéaire

Message par Mourien » 30 janv. 2021 23:30

Bonsoir, je cherche à résoudre le système suivant (dans C) :

$$ \begin{array} \\
\lambda_1+\dots+\lambda_n=0\\ \lambda_1^2+\dots+\lambda_n^2=0\\ \dots\\ \lambda_1^{n-1}+\dots+\lambda_n^{n-1}=0 \\ \lambda_1^n+\dots+\lambda_n^n=n\end{array} $$

$ \{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}=\mathbb U_n $ les racines n-èmes de l'unité est une solution évidente, j'aimerais montrer que c'est la seule.

J'ai pensé à des polynômes interpolateurs mais je ne m'en sors pas. On peut aussi reconnaître une matrice de Vandermonde mais cette fois ce sont les coefficients qui sont les inconnues...

Enfin, comme j'ai déjà une solution, je pourrais aussi me contenter de l'unicité. J'ai donc fait la différence de deux solutions et cela se ramène à montrer que $ (\sum_{p+q=i-1}\lambda_j^p\mu_j^q)_{i,j} $ est inversible.

(j'essaie en fait de résoudre l'exercice
Soit $ A\in M_n(\mathbb C) $ telle que pour tout $ k\in[\! [1,n-1]\!], Tr(A^k) =0 $ et $ Tr(A^n) =n $. Montrer que $ A $ est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres.
qui serait une conséquence immédiate de ce résultat).

Merci d'avance et bonne soirée !
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Re: Système non linéaire

Message par Mourien » 31 janv. 2021 00:01

D'ailleurs ce sont les sommes de Newton de $ P=\prod_i X-\lambda_i=a_nX^n+\dots+a_0 $.

Il me semble que l'on a alors en posant $ S_k=\sum_i \lambda_i^k $:

$ \forall k\ge 0, a_nS_{n+k} +\dots +a_o S_k=0 $

Pour $ k=0 $ on a $ a_0+a_n=0 $ donc $ a_n=1,a_0=-1 $ vu P unitaire.

Pour $ k=1,\dots,n $ on a $ a_1, \dots,a_{n-1}=0 $ car $ S_{n+1}=\dots=S_{2n-1}=0 $ (pourquoi? En faisant des combinaisons linéaires pertinentes des $ S_1,\dots,S_n $?)

Ainsi $ P=X^n-1 $ et les $ \lambda_i $ sont exactement les racines n-èmes de l'unité.

Reste à montrer la nullité des sommes de Newton intéressantes. Peut être un développement assez laid du style $ S_{n+1} =S_nS_1\pm? $
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Re: Système non linéaire

Message par Inversion » 31 janv. 2021 08:33

$ $Bonjour,

A mon avis le plus immédiat pour montrer que $a_1,...,a_{n-1}$ sont nuls n'est pas de passer par $S_{n+1},\dots,S_{2n-1}$ mais d'exprimer les $n-1$ premières sommes de ton système (donc $S_1,\dots,S_{n-1}$) en fonction des polynômes symétriques élémentaires en les $\lambda_i$ (donc en fonction des $a_i$), par exemple la première ligne de ton système te donne déjà que $a_1=0$.

Bon courage !
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Re: Système non linéaire

Message par Mourien » 31 janv. 2021 12:07

Bonjour et merci pour l'indication :D

En effet on a en posant $ \sigma_k=\displaystyle\sum_{1\le i_1<\dots<i_k\le n} \lambda_{i_1}\dots\lambda_{i_k}=(-1)^{n-k}a_{n-k} $

Il s'agit ensuite d'exprimer $ S_k $ en fonction des $ (\sigma_k) _{i\le k} $

On a en fait $ S_1^k = \sum_{i_1}\dots \sum_{i_k} \lambda_{i_1}\dots \lambda_{i_k} $ . En regroupant par indices distincts on arrive à :
$ S_1^k=\displaystyle\sum_{n_1\ge\dots n_p\ge 1, n_1+\dots +n_p=k} \sum_{i_1,\dots,i_p}^*\lambda_{i_1}^{n_1}\dots \lambda_{i_p} ^{n_p} $
L'étoile signifie que l'on somme sur des indices distincts.
Il faut ensuite se convaincre que l'on peut exprimer cette somme par des combinaisons de $ (S_i) _{i\le k} $ ainsi qu'avec $ \sigma_k $.

Par exemple j'ai calculé les 4 premiers à la main mais je n'arrive pas à traiter proprement le cas général :
$ S_1=\sigma_1 $
$ S_1^2=S_2+2\sigma_2 $
$ S_1^3=-2S_3 + 3S_1S_2+3!\sigma_3 $
$ S_1^4=...+4!\sigma_4 $

Cela permet d'établir $ a_1=\dots=a_{n-1}=0 $


Je pense que derrière tout cela se cache le théorème fondamental sur les polynômes symétriques qui engendrent les polynômes à plusieurs indéterminées que sont les $ S_k $ (en les $ \lambda_i $).

Quelqu'un pourrait il m'aiguiller pour finir proprement l'exo ?
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Re: Système non linéaire

Message par Inversion » 31 janv. 2021 13:33

$ $
Tu as le résultat suivant sur les sommes de Newton, en notant $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ les polynômes symétriques élémentaires en $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ : $S_p-\sigma_{1}S_{p-1}+\dots+(-1)^{p-1}\sigma_{p-1}S_1+(-1)^pp\sigma_p=0$ pour $1 \le p \le n-1$.

Pour le montrer, tu peux essayer d'écrire la division euclidienne de $P$ par $X-\lambda_i$ à $i$ fixé, de sommer pour $1 \le i \le n$ et de conclure en utilisant la décomposition en éléments simples de $P'/P$.
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Re: Système non linéaire

Message par versionpatch » 31 janv. 2021 16:17

Je propose une autre solution. On remarque que pour tout polynôme $P$ unitaire de degré $n$ qui admet zéro comme racine, $\sum_{i=1}^{n} P(\lambda_{i}) = n$. On note $P = \prod_{i=1}^{n} (X-\lambda_{i})$. Pour tout $j$, on a $\lambda_{j}\prod_{i \neq j}(\lambda_{j}-\lambda_{i}) = n$ donc $\lambda_{j}P'(\lambda_{j}) - n = 0$. En identifiant les coefficients dominants et les racines, on a $XP' - n = nP$ donc $P = X^{n} - 1$ (par une équation differentielle ou plus simplement en regardant les coefficients).
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Re: Système non linéaire

Message par Inversion » 31 janv. 2021 16:42

Merci pour cette solution absolument magnifique et très courte (et bien entendu préférable à celle que j'ai donnée)
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Re: Système non linéaire

Message par JeanN » 31 janv. 2021 19:56

Pour résoudre élégamment $$XP'-n=nP$$ je propose de poser $Q=P+1$ puis de faire apparaitre Q'/Q et de conclure en exploitant l'unicité de la décomposition en éléments simples.
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Re: Système non linéaire

Message par Inversion » 31 janv. 2021 22:04

JeanN a écrit :
31 janv. 2021 19:56
Pour résoudre élégamment $$XP'-n=nP$$ je propose de poser $Q=P+1$ puis de faire apparaitre Q'/Q et de conclure en exploitant l'unicité de la décomposition en éléments simples.
Joliii :)
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Re: Système non linéaire

Message par Mourien » 31 janv. 2021 22:21

Merci pour toutes ces jolies preuves !

@Inversion Je songeais aussi à ce résultat plus dur sur les sommes de Newton mais sa démo n'est pas facile... Je vais essayer de regarder la preuve que tu m'as indiquée et que je ne connaissais pas !
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