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Bonjour, je cherche l'exercice suivant,

Soit $ A\in S_n(\mathbb R) $. On note ses valeurs propres coptées avec multiplicité $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Etablir :
$\displaystyle\sum_{i<j} A_{i,i}A_{j,j}\ge\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j$.

En utilisant la conservation de la trace, on se ramène à établir : $\displaystyle \sum_i A_{i,i}^2\le\sum_i \lambda_i^2$

J'ai essayé d'utiliser le théorème spectral : $A=O\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)O^T$ avec $O\in O_n(\mathbb R)$.

Vu $A_{i,i}=\displaystyle\sum_k O_{i,k}^2\lambda_k$, j'ai pensé à utiliser Cauchy-Schwarz ensuite, mais je n'ai pas abouti...

Quelqu'un aurait-il une piste à me suggérer ?

Merci d'avance !

Calcule $tr({}^t AA)$ de deux façons différentes.

$Tr(A^2)=\sum_{i,k} A_{i,k}^2$ d'une part
$Tr(A^2)=\sum_i \lambda_i^2$ d'autre part en diagonalisant

C'était naturel d'y penser car c'est juste le membre de droite de notre inégalité !

Merci pour le coup de pouce !

Mourien a écrit : ↑

03 juin 2021 21:57

$Tr(A^2)=\sum_{i,k} A_{i,k}^2$ d'une part
$Tr(A^2)=\sum_i \lambda_i^2$ d'autre part en diagonalisant

C'était naturel d'y penser car c'est juste le membre de droite de notre inégalité !

Merci pour le coup de pouce !

De rien !
Par ailleurs, j'ai déjà vu (en colle) fonctionner une solution utilisant l'expression des coeffs de A en fonction des valeurs propres et de ceux de la matrice de changement de base mais j'ai la flemme de la retrouver

Bonjour,

Je pense qu'avec la convexité de la fonction carré on peut effectivement conclure très facilement grâce au calcul mené plus haut.

Inversion a écrit : ↑

04 juin 2021 05:42

Bonjour,

Je pense qu'avec la convexité de la fonction carré on peut effectivement conclure très facilement grâce au calcul mené plus haut.

En effet, il faut reconnaître un barycentre et ça marche très bien!