Démonstrations élégantes

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 172

Inscription : 11 mars 2021 18:24

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Démonstrations élégantes

Message par Contrexemple » 10 déc. 2021 15:58

Oui. Mais il me semble qu'il y a un patch, laisse moi y réfléchir tranquillement.

Messages : 41

Inscription : 22 août 2018 15:42

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Démonstrations élégantes

Message par GaBuZoMeu » 10 déc. 2021 16:04

Réfléchis, mais il me semble bien que c'est une impasse. Composer avec un homéomorphisme à la source ne change pas la norme $ \infty $.

Messages : 41

Inscription : 22 août 2018 15:42

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Démonstrations élégantes

Message par GaBuZoMeu » 10 déc. 2021 18:37

Voila, c'était élégant mais ça ne fait absolument pas une démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.

Messages : 172

Inscription : 11 mars 2021 18:24

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Démonstrations élégantes

Message par Contrexemple » 11 déc. 2021 12:08

@GBZM : penses-tu cela probable que l'on puisse obtenir une preuve de 7 lignes niveaux prépas de ce théorème?

Messages : 41

Inscription : 22 août 2018 15:42

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Démonstrations élégantes

Message par GaBuZoMeu » 11 déc. 2021 13:37

Non, je ne pense pas. Il y a déjà plusieurs démonstration selon des voies différentes. En tout cas, il est clair que ton approche (composer avec un homéomorphisme à la source) ne peut rien donner.

Messages : 172

Inscription : 11 mars 2021 18:24

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Démonstrations élégantes

Message par Contrexemple » 09 févr. 2022 10:04

Salut,

$ $
Soit $p\in \{1,2\}$ on note $||f||_p=(\int_0^1 |f(t) |^{p} dt) ^{1/p}$.
On suppose que $\mathbb R[x] $ est dense pour la norme $p=2$ dans $C([0,1])$.
Montrer, en moins de 10 lignes, qu'alors $\mathbb R[x] $ est dense dans $C([0,1])$, pour la norme uniforme.

SPOILER:
En utilisant l'inégalité de Jensen appliqué à la fonction carré on a $||f||_1^2\leq ||f||_2^2$ donc $||f||_1\leq ||f||_2, \forall f \in C([0,1])$.

Soient $\epsilon >0$ et $f\in C([0,1])$ que l'on prolonge continument sur $[0,2]$ avec $\forall x \in [1,2],f(x)=f(1)$.

$f$ continue sur un compact donc uniformément continue, d'où il existe $n\in \mathbb N^*$,

$\forall x\in [0,1],\forall t\in[0,1/n], |f(x) - f(x+t) |\leq \frac{\epsilon} {3} $

On pose, pour $x\in [0,1]$, $g(x) =n\int_0^{1/n} f(x+t) dt=n(F(x+1/n)-F(x))$, avec $F$ une primitive de $f$

alors $g\in C^1([0,1])$ et $||g-f||_\infty \leq \frac{\epsilon} {3} $.

Soit $P$ polynôme tel que $\frac{\epsilon} {3} \geq ||g'-P||_2\geq ||g'-P||_1 \geq |g(0)+\int_0^x g'(t) dt - (g(0)+\int_0^x P(t) dt)|, \forall x\in [0,1]$.

On pose $Q(x) =g(0)+\int_0^x P(t) dt$ alors ce polynôme vérifie : $||f-Q||_\infty \leq ||f-g||_\infty +||g-Q||_\infty \leq \frac{\epsilon} {3} + \frac{\epsilon} {3} < \epsilon$

Ce qu'il fallait expliquer.





Messages : 2

Inscription : 12 avr. 2014 23:26

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Démonstrations élégantes

Message par Der RHDJ » 11 févr. 2022 10:40

Montrer que pour $ n \geq 3 $, $ 2^\frac{1}{n} \notin \mathbb{Q} $ .
SPOILER:
Supposons par l'absurde que $ 2^\frac{1}{n} = \frac{a}{b} $
Alors $ b^n + b^n = a^n $.
D'après le grand théorème de Fermat, absurde.
2012-2013 : 1/2 insouciante
2013-2014 : 3/2 arrogante
2014-2015 : 5/2 aigrie ET arrogante
X2015
Coët en GU - Médaille du Mythe échelon Platine - Vaneau d'Or

Inversion

Re: Démonstrations élégantes

Message par Inversion » 11 févr. 2022 11:07

Der RHDJ a écrit :
11 févr. 2022 10:40
Montrer que pour $ n \geq 3 $, $ 2^\frac{1}{n} \notin \mathbb{Q} $ .
SPOILER:
Supposons par l'absurde que $ 2^\frac{1}{n} = \frac{a}{b} $
Alors $ b^n + b^n = a^n $.
D'après le grand théorème de Fermat, absurde.
Splendide 😂😂

Messages : 172

Inscription : 11 mars 2021 18:24

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Démonstrations élégantes

Message par Contrexemple » 13 févr. 2022 14:11

Soit $f$ fonction réelle, $f$ est pseudo périodique s'il existe $g$ fonction réelle, qui ne soit pas l'identité, telle que : $\forall x \in \mathbb R, f(x) =f(g(x)) $.

Existe-t-il des fonctions pseudo-périodiques, sur $\mathbb R$ qui ne soient pas périodique ?
SPOILER:
Plein d'exemple "classique" ont été donné dans le fil sur les exos sympa MP*.

Ici, je vais donner d'autres types d'exemples.

On pose $h(x) =x+1$, $j$ une fonction réelle strictement croissante et continue, $g =j\circ h \circ j^{-1}$ et $u$ une fonction régulière à support compact.

$f(x) =\sum\limits _{n \in \mathbb Z} u(g^n(x)) $ en fait la somme est finie pour $x$ dans un compact donc continue.

En effet $u$ a support compact et $\lim\limits_{|n|\rightarrow \infty} |g^n(x) |=+\infty $ uniformément sur tout compact.


Messages : 172

Inscription : 11 mars 2021 18:24

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Démonstrations élégantes

Message par Contrexemple » 23 févr. 2022 12:50

Salut,

Pensez-vous probable que l'on puisse obtenir une preuve de 7 lignes niveaux prépas du théorème d'approximation de Weierstrass ?



viewtopic.php?t=76646&start=40#p1032540
Dernière modification par Contrexemple le 01 mars 2022 10:02, modifié 3 fois.

Répondre