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Bonjour
Voici mon exercice :
Soit E un K espace vectoriel de dimension 3
Soit u apprtient à L(E) tel que u^3=0 et u^2 différent 0
1. montrer qu'il existe un vecteur e1 de E tel que B=(e1,u(e1),u^2(e1)) soit une base de E
2. On note C(u) l'ensemble des endomorphismes de E qui commutent avec u, c'est à dire C(u) = {v appartient L(E) / u o v = v o u }
(a) montrer que C(u) est un espace vectoriel et que C(u) est stable par o
(b) soit v appartient L(E). Montrer que v appartient C(u) ssi il existe (a,b,c) appartient K^3 tel que v = aIdE + bu + cu^2
(c) déterminer la dimension de C(u)
Voici mes ébauches de réponse :
1. je ne sais pas par quelle méthode prouver l'existence, peut être une analyse synthèse? je pensais : dans l'analyse il s'agit de montrer que si un tel e_{1} existe, alors il n'appartient pas au noyau de u
Pour mon analyse j'avais supposé que e1 existait et j'essayais de trouver une condition sur e1 pour que la famille soit une base. J'ai donc fixé trois vecteurs a,b,c dans R et j'ai supposé que ae1+bu(e1)+cu^2(e1)=0. Alors on montre, par application successive de u, que a,b,c sont tous nuls donc que le famille est libre ssi e1 n'est pas dans le noyau de u. Ensuite la famille est génératrice car de même cardinal que la dimension de E.
mais pour montrer l'existence je ne vois pas comment m'y prendre
Comme u^2 différent 0 alors u n'est pas l'application nulle et à fortiori il existe un vecteur qui n'appartient pas au noyau de u
2a. j'ai réussi à montrer que C(u) est un espace vectoriel mais je ne vois pas comment montrer que C(u) est stable par o
2b. j'ai montré l'implication indirecte mais je n'ai pas d'idée pour l'implication directe
2c. je ne suis pas sure mais au vu de la question 2b la famille (IdE,u,u²) est génératrice et donc dim(C(u))= 3
merci par avance pour votre aide

Pour la 1, prends un vecteur qui n’est pas dans le noyau de u^2 et montre qu’il convient

Pour la 2a, prends v et w dans C(u) et montre que vow est dans C(u) (c’est juste la formulation mathématique de ce qu’on te demande)

Pour la 2b sens direct, intéresse toi à v(e1) et utilise l’hypothèse de commutation

Pour la 2c, ta réponse est juste mais il faut également prouver que la famille considérée est libre pour conclure sur la dimension

1) Je crains que tu n'aies tiré une mauvaise conclusion de ton analyse.

$ e_1 \notin Ker \; u $ est une condition nécessaire, mais pas suffisante.
Que se passe-t-il si $ e_1 \in Ker \; u^2 $ ?

Supposons que $ e_1, u(e_1), u^2(e_1) $ soit une base de E
on a donc avec des application successives de $ u $

• $ u(e_1), u^2(e_1) $ est une base de $ Im(u) \implies rg \; u = 2 $
• $ u^2(e_1) $ est une base de $ Im(u^2)\implies rg \; u^2 = 1 $

2) a) Il est bon de se rappeler que la composition de fonctions est associative - trivial, je sais, mais je suis un peu rouillé

b) c)

Merci à tous les deux pour votre réponse.
Pour la 1, effectivement mon hypothèse n'était pas suffisante, la condition nécessaire est que e1 ne soit pas dans le noyau de u².
Pour la 2a, j'ai également compris.
Cependant, je ne comprends pas bien quoi faire pour la question b .
On peut écrire v(e1) comme combinaison linéaire de e1, u(e1), et u²(e1), mais après je ne vois pas quoi faire et je ne comprends pas très bien les indications de JohanB.

Pour la 2b, rappelle-toi que deux applications linéaires sont égales ssi elles coïncident sur une base

Je vais tâcher d'être plus explicite pour 2-b)
$ e_1, u(e_1), u^2(e_1) $ est une base de E, donc

$ \forall x \in E\quad \exists ! a_x,b_x,c_x \in \mathbb{K} : x = a_x e_1 + b_x u(e_1) + c_x u^2(e_1) \\
\qquad \implies x = (a_x\; Id + b_x u + c_x u^2) (e_1) \\
\qquad \implies x = U_x (e_1) $

Un calcul similaire s'applique pour $ v(e_1) $ et $ U_v $

D'accord j'ai compris, merci beaucoup pour votre aide