Bonsoir à tous
j'ai une petite question , si on considère un endomorphisme "s" d'un R ev et S sa matrice canonique ,est ce que les coefficients de S de (à l'aide du produit scalaire canonique(<,>)= <ei,s(ej)> , et si "s" est symetrique alors les Cf = <ei,ej> ?
je pense oui parce que une symétrie orthogonal ( la base canonique est orthonormée) donc est un automorphisme orthogonal mais je suis pas sur !!
ce que je dis est vrai ?
Merci d'avance
Automorphisme orthogonal
Re: Automorphisme orthogonal
Je suis d'accord pour dire que les coefficients de la matrice dans la base orthonormée des $ e_l $ sont $ <e_i,s(e_j)> $.
Attention pour la suite, un automorphisme orthogonal vérifie :
$ < s(x), s(y) > = <x, y> $ pour tous vecteurs $ x,y $ et non $ <s(x),y>=<x,y> $.
D'ailleurs, tu te rends bien compte qu'il y a un problème avec ta question puisque $ <e_i,e_j>=\delta_{ij} $ (symbole de Kronecker) pour une base orthonormée, cela signifierait que le seul endomorphisme symétrique est l'identité, ce qui est évidemment faux.
Je pense que tu confonds endomorphisme symétrique et symétrie également. Tous les endomorphismes symétriques ne sont pas des automorphismes orthogonaux, et toutes les symétries ne sont pas orthogonales.
Bonne journée.
Attention pour la suite, un automorphisme orthogonal vérifie :
$ < s(x), s(y) > = <x, y> $ pour tous vecteurs $ x,y $ et non $ <s(x),y>=<x,y> $.
D'ailleurs, tu te rends bien compte qu'il y a un problème avec ta question puisque $ <e_i,e_j>=\delta_{ij} $ (symbole de Kronecker) pour une base orthonormée, cela signifierait que le seul endomorphisme symétrique est l'identité, ce qui est évidemment faux.
Je pense que tu confonds endomorphisme symétrique et symétrie également. Tous les endomorphismes symétriques ne sont pas des automorphismes orthogonaux, et toutes les symétries ne sont pas orthogonales.
Bonne journée.
Re: Automorphisme orthogonal
Grand Merci , (j'ai oublié la différence entre les deux )