la somme des dimensions des espaces propres

[sayouf104]

Bonjour
Si on arrive à montrer que la somme des dimensions des sous espaces propres associé à des valeurs propres d'un endomorphisme du L(E) ,est supérieur à la dimension de E ,est ce qu'on peut déduire qu'il est diagonalisable ?
je sais qu'il faut une égalité ,mais puisque chaque dim d'un sep est inférieur à la multiplicité de la vp associé est que la somme des multiplicités est égale la dimension de E alors on a l'autre inégalité ?
Merci et bonne journée

[Tamador195]

Les sous espaces propres (sep) associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe. Donc la dimension de leur somme est égale à la somme de leurs dimensions.

On a donc l’autre inégalité plus rapidement en comparant la dimension de E et de la somme des sep qui est un sev de E.

[JeanN]

Bonjour
Si on arrive à montrer que la somme des dimensions des sous espaces propres associé à des valeurs propres d'un endomorphisme du L(E) ,est supérieur à la dimension de E ,est ce qu'on peut déduire qu'il est diagonalisable ?

Oui

[sayouf104]

Les sous espaces propres (sep) associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe. Donc la dimension de leur somme est égale à la somme de leurs dimensions.

On a donc l’autre inégalité plus rapidement en comparant la dimension de E et de la somme des sep qui est un sev de E.

ce que vous dites est valable si l'endo est diagonalisable alors c'est que je cherche à montrer

Merci JeanN et à vous

[Tamador195]

Non le fait que les sep sont en somme directe est toujours vrai. Quand je dis « l’autre inégalité » c’est la seconde que tu mentionnais.

[JeanN]

Ce que Tamador essaye de te dire c'est que tu n'as pas besoin de passer par le polynôme caractéristique et la multiplicité des valeurs propres pour justifier l'inégalité qui est toujours vraie.