Bonjour
si on prend E un ev et que E=somme directe des Ei (sous espaces de E)
si on a une propriété vraie sur chaque Ei est ce qu'il est toujours vraie sur E ?
et pour la réciproque ?
Merci d'avance
Somme directe
Re: Somme directe
Bonjour
si on prend E un ev et que E=somme directe des Ei (sous espaces de E)
si on a une propriété vraie sur chaque Ei est ce qu'il est toujours vraie sur E ?
et pour la réciproque ?
Merci d'avance
Parfois oui, parfois non.
Réciproque oui : si une propriété est vraie pour tout vecteur de E, elle est vraie a fortiori pour tout vecteur de n'importe quelle partie de E.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Somme directe
Un contre exemple : on considère $ E $ un $ \mathbb{K}-e.v $ de dimension finie $ n \geq 2 $,
$ (e_1,\ldots, e_n) $ une base de $ E $ et $ E_1, \ldots,E_n $ les droites vectorielles générées par les $ e_i $
Soit P la propriété : l'espace vectoriel est une droite
chaque $ E_i $ pris indépendamment vérifie cette propriété P. $ E $ ne la vérifie pas.
$ (e_1,\ldots, e_n) $ une base de $ E $ et $ E_1, \ldots,E_n $ les droites vectorielles générées par les $ e_i $
Soit P la propriété : l'espace vectoriel est une droite
chaque $ E_i $ pris indépendamment vérifie cette propriété P. $ E $ ne la vérifie pas.