Somme directe

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Somme directe

Message par sayouf104 » 09 nov. 2021 16:52

Bonjour
si on prend E un ev et que E=somme directe des Ei (sous espaces de E)
si on a une propriété vraie sur chaque Ei est ce qu'il est toujours vraie sur E ?
et pour la réciproque ?

Merci d'avance

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Re: Somme directe

Message par JeanN » 09 nov. 2021 20:56

Bonjour
si on prend E un ev et que E=somme directe des Ei (sous espaces de E)
si on a une propriété vraie sur chaque Ei est ce qu'il est toujours vraie sur E ?
et pour la réciproque ?

Merci d'avance


Parfois oui, parfois non.
Réciproque oui : si une propriété est vraie pour tout vecteur de E, elle est vraie a fortiori pour tout vecteur de n'importe quelle partie de E.
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Re: Somme directe

Message par JohanB » 15 nov. 2021 22:17

Un contre exemple : on considère $ E $ un $ \mathbb{K}-e.v $ de dimension finie $ n \geq 2 $,
$ (e_1,\ldots, e_n) $ une base de $ E $ et $ E_1, \ldots,E_n $ les droites vectorielles générées par les $ e_i $

Soit P la propriété : l'espace vectoriel est une droite :mrgreen:
chaque $ E_i $ pris indépendamment vérifie cette propriété P. $ E $ ne la vérifie pas.

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