Bonsoir
si on prend par exemple un endomorphisme u de Mn(K), est ce que les vecteurs propres sont des matrices ? (si oui on les appellent matrices propres ) si u est diagonalisable alors A (sa matrice dans la base canonique Eij) sera semblable à une matrice diagonale et on appele P la matrice de passage de la base Canonique à la base (constitués de vecteurs propres ) . dans le cas des vecteurs ,les colonnes de P sont les vecteurs propres , mais dans ce cas ,quelle est la forme de P ?
Merci d'avance
Vecteurs propres
Re: Vecteurs propres
Bonjour
$ $- Si on prend un endomorphisme $u$ de $M_n(K)$, les vecteurs propres sont en effet des matrices.
- Quand on définit la matrice $A$ dans la base canonique $E_{ij}$, je suppose que tu dis ainsi que $A$ est la matrice de colonnes (dans l'ordre) $u(E_{11}),u(E_{12}),\dots,u(E_{1n}),\dots,u(E_{n1}),\dots,u(E_{nn})$. Alors la matrice $A$ est un élément de $M_{n^2}(K)$, et la matrice de passage $P$ est également une matrice de $M_{n^2}(K)$. Si $\lambda=(\lambda_{ij}) _{1 \le i,j \le n}$ est un vecteur propre (ce que tu appelles "matrice propre") de $u$, alors la colonne de $P$ correspondant à $\lambda$ sera $^t (\lambda_{11},\lambda_{12},\dots,\lambda_{1n},\lambda_{21},\dots,\lambda_{2n},\dots,\lambda_{n1},\dots,\lambda_{nn})$ ($^t$ désigne la transposée, je note juste comme cela pour éviter d'avoir à noter un vecteur colonne).
Au niveau de la matrice $A$ et de la matrice $P$, tout fonctionne exactement comme si tu considérais les éléments de $M_n(K)$ comme des vecteurs colonnes (des éléments de $M_{n^2,1}(K)$), tu n'as donc pas besoin de te prendre la tête, rien ne change par rapport aux situations que tu as l'habitude de traiter, la taille des matrices - $n^2$ au lieu de $n$ - exceptée).
J'espère que c'est à peu près clair.
$ $- Si on prend un endomorphisme $u$ de $M_n(K)$, les vecteurs propres sont en effet des matrices.
- Quand on définit la matrice $A$ dans la base canonique $E_{ij}$, je suppose que tu dis ainsi que $A$ est la matrice de colonnes (dans l'ordre) $u(E_{11}),u(E_{12}),\dots,u(E_{1n}),\dots,u(E_{n1}),\dots,u(E_{nn})$. Alors la matrice $A$ est un élément de $M_{n^2}(K)$, et la matrice de passage $P$ est également une matrice de $M_{n^2}(K)$. Si $\lambda=(\lambda_{ij}) _{1 \le i,j \le n}$ est un vecteur propre (ce que tu appelles "matrice propre") de $u$, alors la colonne de $P$ correspondant à $\lambda$ sera $^t (\lambda_{11},\lambda_{12},\dots,\lambda_{1n},\lambda_{21},\dots,\lambda_{2n},\dots,\lambda_{n1},\dots,\lambda_{nn})$ ($^t$ désigne la transposée, je note juste comme cela pour éviter d'avoir à noter un vecteur colonne).
Au niveau de la matrice $A$ et de la matrice $P$, tout fonctionne exactement comme si tu considérais les éléments de $M_n(K)$ comme des vecteurs colonnes (des éléments de $M_{n^2,1}(K)$), tu n'as donc pas besoin de te prendre la tête, rien ne change par rapport aux situations que tu as l'habitude de traiter, la taille des matrices - $n^2$ au lieu de $n$ - exceptée).
J'espère que c'est à peu près clair.
Re: Vecteurs propres
Très clair ,merci