f(x+y) = f(x)+f(y)

[Aymanfh]

f: R=>R / f(x+y) = f(x)+f(y), a=f(1)
1) Montrer que pour tout x dans Q, f(x)=ax
2) On suppose que fest bornée au voisinage de 0. monter que pour tout x dans R, f(x)=ax

J'ai bien répendu à la première question mais je n'ai pas aboutit à un résultat satisfaisant pour la deuxième. une petite idée m'aidera énormément. Mercii

[Tamador195]

essaie de montrer que f est continue en 0

[JohanB]

essaie de montrer que f est continue en 0

Au vu de l'énoncé, je ne vois pas ce qui empêche d'avoir $ f(x)=a_q x $ pour $ x \in \mathbb{Q} $ et $ f(x)=a_r x $ pour $ x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $ avec $ a_q \neq a_r $

[Inversion]

essaie de montrer que f est continue en 0

Au vu de l'énoncé, je ne vois pas ce qui empêche d'avoir $ f(x)=a_q x $ pour $ x \in \mathbb{Q} $ et $ f(x)=a_r x $ pour $ x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $ avec $ a_q \neq a_r $

$ $La condition $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous $x,y$ réels

[JeanN]

essaie de montrer que f est continue en 0

Par l'absurde, par exemple. Mais c'est assez technique.

[Contrexemple]

Mais c'est assez technique.

Pas tellement, si on le prend par le bon bout.

SPOILER:

On a $\exists e\in ] 0,1[,m>0,\forall x \in [-e, e], |f(x) |\leq m$

Soit $0<|x|< e$ alors $e \geq \dfrac {|x|^2} { |x|} \geq x^2 \times E(1/|x|)$ donc $|f(x^2) |\leq \dfrac{m} {E(1/ |x|)}$ et $|f(-x^2) |\leq \dfrac{m} {E(1/ |x|)}$

D'ou pour $\forall x\in [-e^2,e^2]^*, |f(x) |\leq \dfrac{m} {E(1/\sqrt{|x|}) }\leq 2m\times \sqrt{|x|}$

$E$ la fonction partie entière.