éléments symétrisables vs réguliers

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éléments symétrisables vs réguliers

Message par PierreDuCher » 06 janv. 2022 14:55

Bonjour, et d'avance merci pour votre aide.

Dans un monoïde (E, *) , on sait que tout élément symétrisable à gauche est régulier à gauche. Idem à droite.

On dit que les réciproques sont fausses en général, sauf si l'ensemble E est fini. Je me suis un peu penché sur la démonstration, et en fait je trouve un résultat plus fort qui est le suivant :

Si E est fini, tout élément de E régulier à gauche ou à droite est symétrisable (à gauche et à droite).

C'est bon ?

Pierre

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Re: éléments symétrisables vs réguliers

Message par GaBuZoMeu » 06 janv. 2022 15:31

Bonjour,

Oui, si $ a $ a un symétrique à droite $ b $, la multiplication à gauche par $ a $ est surjective et la multiplication à droite par $ a $ est injective.

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Re: éléments symétrisables vs réguliers

Message par PierreDuCher » 06 janv. 2022 17:06

Oui c'est vrai, même si E est infini d'ailleurs.

L'application y = a * x est en effet surjective puisque tout élément y_0 a un antécédent au moins. Par exemple x_0 = b * y_0 convient.

L'application y = x * a est en effet injective puisque si x_1 * a = x_2 * a alors x_1 = x_2 (il suffit de multiplier chaque membre à droite par b).

Mais cela n'a pas vraiment de lien avec ma question ?

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Re: éléments symétrisables vs réguliers

Message par GaBuZoMeu » 06 janv. 2022 17:51

Bien sûr que si, ça a un lien !
Ne sais-tu pas que pour une application d'un ensemble fini dans lui-même, injective équivaut à surjective équivaut à bijective ?

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Re: éléments symétrisables vs réguliers

Message par PierreDuCher » 06 janv. 2022 18:14

Ah oui c'est vrai, je n'y pensais pas.

Et sachant que la bijection y = x * a est la réciproque de y = a * x, au bout du compte il y a équivalence entre "a est symétrisable" et "a est inversible".

Ma démonstration n'est pas présentée de cette manière.

Merci

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