Exprimer une matrice relativement à une base

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Exprimer une matrice relativement à une base

Message par soso_is_studying » 19 janv. 2022 12:25

Bonjour! je suis en train de résoudre l'exercice mis en pièce jointe, mais ceci est une question générale sur le changement de base, car je suis un peu confuse!

Jusqu'ici, je calculais une matrice de passage ainsi:

Base b : [ b1 b2 ] et Base C : [ c1 c2 ]

Je réduis [ b1 b2 | c1 c2 ] jusqu'à obtenir une matrice inverse à gauche: la matrice obtenue à droite est la matrice de passage de C vers B.

Cependant, je suis tombée récemment sur un exercice où on m'a donnée 4 vecteurs de B ainsi qu'une application linéaire T que j'ai exprimée dans la base canonique. Cependant la matrice de changement de base de B vers la base canonique n'est que les vecteurs de B réunis en une seule matrice. Image

La matrice de changement de base B vers la base canonique n'est-elle pas que la base B exprimée dans la base canonique? Y-a-t'il une différence? Comment puis-je de façon générale calculer une matrice de passage d'une base B vers une base C ?

Je me permets de poster l'énoncé de base:

Image

Merci d'avoir pris le temps de lire!

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Re: Exprimer une matrice relativement à une base

Message par H2Fooko » 19 janv. 2022 16:45

Hello soso,
Bon je dirais mêmes conseils que pour YOURI1 car les images ne sont pas passées 😋
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Re: Exprimer une matrice relativement à une base

Message par Tamador195 » 19 janv. 2022 17:13

Chez moi elles sont passées !

Il faut effectivement exprimer les vecteurs de ta nouvelle base dans la base canonique … sauf qu’en fait l’expression d’un vecteur de R^k dans la base canonique c’est lui même !

Si tu prends (x,y,z,w) de R^4 quelconque, il s’ecrit bien x*(1,0,0,0)+y*(0,1,0,0)+z*(0,0,1,0)+w*(0,0,0,1). C’est d’ailleurs comme ça qu’est définie la base canonique. Ça marche aussi pour les matrices, ou même les polynômes en les écrivant sous forme de suite presque nulle.

Par contre tu trouves « les mêmes vecteurs » a priori qu’avec la base canonique. De manière générale; il faut exprimer les vecteurs de la base C dans la base B (ce qu’on fait bien avec la base canonique dans ton cas).
Je t’invite à essayer de trouver la matrice de passage de la base canonique à la base B de ton énoncé de cette manière. Tu pourras vérifier ta réponse en regardant si tu trouves bien la matrice inverse de la matrice passage de B à la base canonique.
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Re: Exprimer une matrice relativement à une base

Message par H2Fooko » 20 janv. 2022 08:46

Chez moi toujours pas ... tant mieux alors.

PS : ça marche mieux avec "internet explorer" qu'avec "Chrome" ou "Opera": mea culpa
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